För vilka x-värden är h(x) >6 ?

Rita!

Du vill först undersöka för vilka x som  h(x) = 6.  For att gora detta ar det nog lattast att substituera 3x + 60 --> y  så att problemet blir: 

5 + 2sin(3x + 60) = 6   for 0 < x < 180    

----[y = 3x + 60]---->   

5 + 2sin(y) = 6    for  60 < y < 600

sin(y) = 1/2       for 60 < y < 600

Vilket ar sant for all y = 30 * n   och y = (180 - 30) * n     dar n = 1,2,3,4... och y ar inom ditt intervall...

Genom att byta till y såhär så kan du lätt rita upp problemet och se vad som gäller för y. Efter det så är det bara att byta tillbaka till x.

Så for y i dessa intervall vet vi att h > 6:     60 < y < 150   och  420 < y < 410

byt tillbaka till x nu och se vilka varden som galler dar:

Lös ut x i:   60 < 3x + 60 < 150  

och i:           420 < 3x + 60 < 410

Så borde du vara hemma sen!

Nu har jag ritat för att se var h(x) är större än 6 i intervallet 0 < x < 180.

Jag tycker att förklaringen som jjrr ger delvis är svår att följa (särskilt på slutet). Kan man rita upp lösningarna i enhetscirkeln också? 

Någon får gärna visa hur man kommer fram till lösningarna på b-uppgiften genom att använda olikhetstecken och enhetscirkeln. Jag använde ju grafräknaren och facit, vilket känns lite som ”fusk”.

Ett sätt som jag kom på att man kan lösa b-uppgiften på är att man har med sig "gränserna" från a-uppgiften. Vi vet ju att vid x=30 grader, x=110 grader och x=150 grader så är h(x)=6. Vi vet att funktionen är en sinuskurva. Vi kan då sätta in olika värden på x som är större och mindre än våra gränser och på så sätt analysera var kurvan har y-värde över 6. Förslagsvis kan man ta när x är 20 grader, 40 grader, 100 grader, 120 grader och 160 grader.

När jag ritar enhetscirkeln får jag att

när x=30 grader så är 3x=90 grader,

när x=150 grader så är 3x=450 grader, vilket är detsamma som 90 grader (då 450-360=90),

när x=110 grader så är 3x=330 grader.

I enhetscirkeln ser området där h(x)>6 ut så här:

Men hur räknar man ut det med hjälp av olikhetstecken?

Men hur räknar man ut det med hjälp av olikhetstecken?

Vad menar du? Du har ju svarat med olikhetstecken: 0^o < x < 30^o eller 110^o < x < 150^o.

Menar du att du undrar hur du löser olikheten 5+2sin(3x+60^o) > 6 med hjälp av enhetscirkeln? Jag skulle lösa ekvationen 5+2sin(3x+60^o) = 6 och däärefter rita upp funktionen för att inte klanta till vilka intervall jag är ute efter.

5+2sin(3x+60^o) = 6

2sin(3x+60^o) = 1

sin(3x+60^o)=0,5 Använd enhetscirkeln för att hitta vilka vinklar som motsvarar sinusvärdet 0,5

3x+60^o = 30^o+n*360^o eller 3x+60^o = 150^o+n*360^o 

3x = -30^o+n*360^o eller 3x = 90^o+n*360^o

x = -10^o+n*120^o eller x = 30^o+n*120^o

Hej Smaragdalena,

Ja, så som du beskriver har jag också kommit fram till att jag ska göra.

Då har jag en enhetscirkel med vinklarna $30°, 110° , 150°$, vilka motsvarar sinusvärdet 0,5 för funktionen.

Jag vet alltså var $h\left(x\right)=6$och jag kan lista ut var $h\left(x\right)>6$ genom att sätta in olika x-värden i funktionen och beräkna värdet. Då ser jag på vilka sidor om gränserna som sinuskurvan går upp, rent grafiskt, över linjen $y=6.$

Nu till vad jag menar med min fundering:

Om jag skriver $\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{sin}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{60}\mathbf{)}\mathbf{>}\mathbf{6}$ som en olikhet så vet jag inte hur jag ska göra för att få fram de båda aktuella intervallerna, $\mathbf{0}\mathbf{°}\mathbf{<}\mathit{x}\mathbf{<}\mathbf{30}\mathbf{°}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{110}\mathbf{°}\mathbf{<}\mathit{x}\mathbf{<}\mathbf{150}\mathbf{°}$, inom det större intervallet $\mathbf{0}\mathbf{°}\mathbf{<}\mathit{x}\mathbf{<}\mathbf{180}\mathbf{°}$.

Mitt resultat blir ju bara lika som när jag beräknar $\mathit{h}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{6}$.

Då blir svaret att h(x) är större än 6 när x är större än 30, större än 110, respektive större än 150 grader, vilket är fel.

Hur får jag alltså fram intervallerna där $\mathit{h}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{>}\mathbf{6}$ genom att ställa upp $\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{sin}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{60}\mathbf{°}\mathbf{)}\mathbf{>}\mathbf{6}\mathbf{?}$

Jag kan visa intervallerna i enhetscirkeln, när jag känner till dem. Men jag jag kan inte intuitivt se dem i enhetscirkeln innan jag testat olika värden på x.

Du vet att kurvan skär h=6 precis då x är 30, 110 och 150. Då är frågan sen, "mellan vilka av de här är kurvan ovanför h=6?". Eftersom du vet hur en sinuskurva är formad, vet du också att intervallen måste bli "varannan över, varannan under". Då finns det bara två alternativ:

• Kurvan går upp genom punkten (30, 6) vilket ger intervallen $30 < x < 110$ och $150 < x < 180$
• Kurvan går ner genom punkten (30, 6) vilket ger intervallen $0 < x < 30$ och $110 < x < 150$.

Du kan avgöra vilket genom att välja ett enda (gärna lättberäknat) x-värde, t.ex. x=100, och se vad h är där:

$h(100) = 5 + 2\sin(3\cdot 100 + 60) = 5 + 2\cdot 0 = 5$

Så när x=100, är h mindre än 6. Alltså är det fall 2 ovan. 

Jag tycker inte att det ärenhetscirkeln sm är det bästa verktyget för att se när h(x) ä rstörre eller mindre än 6. Jag skulle räkna som som jag beskrev för att ta fram var f(x)=6 och sedan rita upp en sinuskurva, ptecis som du gjorde längre upp i tråden. Enhetscirkeln är jättebra, men inte till allt.

Tack för svar. Då känner jag mig klar över metoderna för att lösa denna typ av uppgift.