För vilka x och y är serien konvergent?

Har en uppgift här som jag inte riktigt vet hur jag ska angripa.

För vilka reella tal $x$ och $y$ konvergerar serien?

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{x}}{\ln (1 + k^{y}) \ln (1 + k^{- y})}$

Att gå rätt på med något konvergenstest blir väldigt bökigt väldigt fort. Någon med något förslag?

Börja med utgångspunkt i termtestet dvs undersök vilka x och y som gör att termerna går mot noll. Detta ger inte definitivt svar om seriens konvergens men öppnar upp för en grov hypotes som kan föfinas med andra test.

EDIT. Ledning. Kan vi säga något om nämnarens beteende? Den beroe endast av beloppet av y och inte dess tecken då är symmetrisk map y.

Då jag tyckte att denna var rätt så kul så tänkte jag posta min (del)lösning i sin helhet nu.

Om vi börjar med kriteriet att en serie endast konvergerar om dess termer går mot noll och undersöker vad som krävs för x och y för att detta ska ske.

Täljaren växer om $x \geq 0$ och minskar om $x < 0$ så den är lättförstålig men nämnaren kräver lite mer analys.

Låt oss anta att $y > 0$ då nämnaren är symmetrisk med avseende på $y$ så tecknet spelar egentligen ingen roll så länge talet inte 0. När $k$ är väldigt stort så kan vi för vänstra faktorn göra approximationen

$\ln(1 + k^y) \approx \ln(k^y) = y \ln(k)$ eftersom 1:an blir försummbar i proportion till det växande $k^y$ . För högra faktorn kan vi använda första ordningens expansion för logaritmfunktionen

$\ln(1 + k^-y) = k^-y$

och sammanställa detta till

$\frac{k^x}{\ln(1 + k^y)\ln(1 + k^{-y}} \sim \frac{k^{x}}{y \ln(k) k^{-y}} = \frac{k^{x + y}}{y \ln k}$

vilket ger ett nödvändigt kriterie att

$x + y < 0$

-Steg 2. Förfina kriteriet något. Låt oss göra en ytterligare förfining genom att definiera en översumma. Approximationerna för nämnaren i förra steget är underskattningar då högre ordningens termer vilka alla är positiva slängs bort så vi har översumman

$\frac{k^x}{\ln(1 + k^y)\ln(1 + k^{-y}} < \frac{k^{x + y}}{y \ln k} < \frac{k^{x + y}}{y}$

Denna överserie

$\frac{1}{y}\sum_{k = 1}^\infty k^{x + y} = \frac{1}{y}\zeta(-(x + y))$

är riemanns zetafunktion $\zeta(s)$ och konvergerar om s > 1 så vi vet att om $x + y < -1$ så måste ursprungsserien konvergera eftersom den då är uppåt begränsad och monoton.

Slutsats: Om $x + y < -1$ så måste serien konvergera.

(Detta gäller även om y = 0)

Steg 3? Undersöka om det finns något par $(x,y)$ i spannet $-1 \leq x + y < 0$ eller som området från steg 2 innehåller alla lösningar?

Svara