För vilka x i intervallet har funktionen negativ derivata?

Frågan är var i det givna intervallet som derivatan av $y=\cos 2x$ är negativ. Börja med att derivera funktionen:

$y' = -2\sin 2x$

Uppenbarligen är denna derivata till en början negativ. Men finns det någon punkt då den blir positiv istället i intervallet $0 < x < \pi$? Var i så fall? 

Tillägg: 9 maj 2024 14:09

Det kanske blir lättare om du betraktar intervallet så här: $0 < 2x < 2\pi$. :)

Hmm, den blir positiv om sin = -1 då -2 * -1 = 2. Men det finns väll ingen punkt i det intervallet då sin är negativt…? Eller?

Den blir positiv vid flera andra sinusvärden också! Om vi tänker oss hur enhetscirkeln ser ut kommer sinusfunktionen bli negativ för alla vinklar där vi hamnar under $x$-axeln. Det betyder att hela derivatan blir positiv då:

$\displaystyle \pi<2x<2\pi\iff\frac{\pi}{2}< x <\pi$

Jag förstår fortfarande inte riktigt…Hur kan hela derivatan bli positiv vid dem värdena när sin = 1 i det intervallet du angav? Då blir detivatans vörde väll -2?

Åsen förstod jag inte riktigt varför vi vill ta reda på när derivatan blir positiv när frågan undrar när derivatan blir negativ? Är det för att de värdena som inte ger en positiv derivata blir svaret på frågan?

Hur kan hela derivatan bli positiv vid dem värdena när sin = 1 i det intervallet du angav? Då blir detivatans vörde väll -2?

Nu förstår jag inte riktigt vad du menar. Är du med på att vi vill hitta det intervall där hela derivatan är negativ? Är du i så fall med på att vi måste hitta det intervall då hela derivatan är positiv, dvs. det intervall där sinusfunktionen (bortser från minustecknet framför nu) blir negativ?

Jag är med på att  vi vill hitta det intervall där hela derivatan är negativ. Däremot förstår jag inte riktigt varför det intervall sinusfunktionen blir negativ är samma intervall som där hela derivatan blir positiv? 

Jag är också med på att sinusfunktionen är negativ för alla värden mellan pi och 2 pi. Om derivatan är positiv har funktionen en positiv lutning och om derivatan är negativ har funktionen en negativ lutning.

Däremot förstår jag inte riktigt varför det intervall sinusfunktionen blir negativ är samma intervall som där hela derivatan blir positiv? 

Nej, det är inte samma sak. Vi har ju från början ett helt intervall $0< x < \pi$. Men en del av detta intervall kommer ju innehålla värden på $x$ som ger en positiv derivata, och det intervallet vill vi ju få bort. Och då måste vi ju hitta det också.

När x varierar mellan 0 och pi, så kommer 2x att variera mellan 0 och 2pi. Rita därför en enhetscirkel och rita in cos 2x. Det brukar hjälpa att se en figur.