för vilka x ger negativa värden

(Du har glömt en exponent, men annars är din kvadratkomplettering korrekt)

Om du ska hitta alla negativa värden, sätt uttrycket till mindre än noll:

$$\begin{gathered} 4{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2-1<0 \\ {\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2<\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Dra roten ur båda led, kommer du vidare?

pepparkvarn skrev:

(Du har glömt en exponent, men annars är din kvadratkomplettering korrekt)

Om du ska hitta alla negativa värden, sätt uttrycket till mindre än noll:

$$\begin{gathered} 4{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2-1<0 \\ {\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2<\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Dra roten ur båda led, kommer du vidare?

jaha men då var det därför jag lyckades lösa olikheten där x mellan 3 och 4 för jag glömde exponenten, nu blev det ju enklare

men det är alltså olikhet man ska tänka för dessa uppgifter? alltså när man ska hitta för vilka x blir värdet si eller så?

Maremare skrev:

pepparkvarn skrev:

(Du har glömt en exponent, men annars är din kvadratkomplettering korrekt)

Om du ska hitta alla negativa värden, sätt uttrycket till mindre än noll:

$$\begin{gathered} 4{\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2-1<0 \\ {\left(x-\frac{7}{2}\right)}^2<\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Dra roten ur båda led, kommer du vidare?

jaha men då var det därför jag lyckades lösa olikheten där x mellan 3 och 4 för jag glömde exponenten, nu blev det ju enklare

men det är alltså olikhet man ska tänka för dessa uppgifter? alltså när man ska hitta för vilka x blir värdet si eller så?

Om uppgiften är att bestämma när ett uttryck är < nånting så är det olikhet, ja.

Maremare skrev:

jaha men då var det därför jag lyckades lösa olikheten där x mellan 3 och 4 för jag glömde exponenten, nu blev det ju enklare

men det är alltså olikhet man ska tänka för dessa uppgifter? alltså när man ska hitta för vilka x blir värdet si eller så?

Nu kallar vi polynomet för P(x).

I allmänhet kan du göra så här. Om frågan lyder

• "För vilket värde på x har polynomet värdet a?" så ställer du upp och löser ekvationen P(x) = a.
• "För vilka värden på x har polynomet negativa (positiva) värden?" så ställer du upp och löser olikheten P(x) < 0 (P(x) > 0).
• "Bestäm ett värde på x så att polynomet har ett negativt/positivt värde." så kan du antingen lösa olikheten eller hitta polynomets nollställen och sedan välja lämpligt värde på x mellan/utanför nollställena, beroende på hur polynomet ser ut (vad det här för grad, om den ledande koefficienten är positiv eller negativ o.s.v.).

tusen tack!

vet ej om jag gör fel men stöttet på trubbel när jag försökte lösa denna idag

jag får olikheten ${(x-\frac{7}{2})}^2<\frac{1}{4}$

och löser jag den får jag $x<\frac{7}{2}\pm \frac{1}{2}, där x_1<4 och x_2< 3$

detta är ju inte samma som svaret att x är mellan 3 och 4 utan här är det att x är mindre än 4 men samtidigt mindre än 3?

Maremare skrev:

vet ej om jag gör fel men stöttet på trubbel när jag försökte lösa denna idag

jag får olikheten ${(x-\frac{7}{2})}^2<\frac{1}{4}$

och löser jag den får jag $x<\frac{7}{2}\pm \frac{1}{2}, där x_1<4 och x_2< 3$

detta är ju inte samma som svaret att x är mellan 3 och 4 utan här är det att x är mindre än 4 men samtidigt mindre än 3?

Det är olikhetstecknet som ställer till det.

Problemet är att det gäller inte att $x-\frac{7}{2}<\pm\frac{1}{2}$ utan istället att $\pm(x-\frac{7}{2})<\frac{1}{2}$.

Som vanligt - rita! Ritar du upp funktionen är det ingen konst att se var kurvan ligger under x-axeln.

Yngve skrev:

Maremare skrev:

vet ej om jag gör fel men stöttet på trubbel när jag försökte lösa denna idag

jag får olikheten ${(x-\frac{7}{2})}^2<\frac{1}{4}$

och löser jag den får jag $x<\frac{7}{2}\pm \frac{1}{2}, där x_1<4 och x_2< 3$

detta är ju inte samma som svaret att x är mellan 3 och 4 utan här är det att x är mindre än 4 men samtidigt mindre än 3?

Det är olikhetstecknet som ställer till det.

Problemet är att det gäller inte att $x-\frac{7}{2}<\pm\frac{1}{2}$ utan istället att $\pm(x-\frac{7}{2})<\frac{1}{2}$.

varför? jag förstår inte, vilken regel är det jag bryter mot?

Förtydligande:

Ekvation:

Det gäller att $a^2=b$ medför $\pm a=\sqrt{b}$.

• Fall 1: $a=\sqrt{b}$
• Fall 2: $-a=\sqrt{b}$, vilket är samma sak som $a=-\sqrt{b}$

Vi kan därför skriva de båda lösningarna som $a=\pm\sqrt{b}$

Olikhet:

Det gäller att $a^2<b$ medför $\pm a<\sqrt{b}$.

• Fall 1: $a<\sqrt{b}$
• Fall 2: $-a<\sqrt{b}$, vilket är samma sak som $a>-\sqrt{b}$

Vi kan därför inte skriva de båda lösningarna som $a<\pm\sqrt{b}$.

Yngve skrev:

Förtydligande:

 

Ekvation:

Det gäller att $a^2=b$ medför $\pm a=\sqrt{b}$.

• Fall 1: $a=\sqrt{b}$
• Fall 2: $-a=\sqrt{b}$, vilket är samma sak som $a=-\sqrt{b}$

Vi kan därför skriva de båda lösningarna som $a=\pm\sqrt{b}$

 

Olikhet:

Det gäller att $a^2<b$ medför $\pm a<\sqrt{b}$.

• Fall 1: $a<\sqrt{b}$
• Fall 2: $-a<\sqrt{b}$, vilket är samma sak som $a>-\sqrt{b}$

Vi kan därför inte skriva de båda lösningarna som $a<\pm\sqrt{b}$.

detta förstår jag inte heller, jag har lärt mig att $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$ och inte att $x^2 = 2 \Rightarrow \pm x = \sqrt{2}$

står detta någonstans på pluggakuten? känner verkligen att jag missat något

Maremare skrev:

detta förstår jag inte heller, jag har lärt mig att $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$ och inte att $x^2 = 2 \Rightarrow \pm x = \sqrt{2}$

står detta någonstans på pluggakuten? känner verkligen att jag missat något

Det är samma sak när det gäller ekvationer, dvs där det är ett likhetstecken. Att det dessutom är lite enklare att skriva gör att det är så vi har lärt oss sambandet.

Men det är inte samma sak när det gäller olikheter.

Jag vet inte om det står någonstans, men det är så jag brukar tänka för att undvika "olikhetsfällan".

Jag tycker att olikheter är mycket krångligare än ekvationer, d v s likheter. Som du kanske kan gissa är mitt sätt att slippa fundera på åt vilket håll olikheten skall vara att rita upp det. 

Yngve skrev:

Maremare skrev:

detta förstår jag inte heller, jag har lärt mig att $x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$ och inte att $x^2 = 2 \Rightarrow \pm x = \sqrt{2}$

står detta någonstans på pluggakuten? känner verkligen att jag missat något

Det är samma sak när det gäller ekvationer, dvs där det är ett likhetstecken. Att det dessutom är lite enklare att skriva gör att det är så vi har lärt oss sambandet.

Men det är inte samma sak när det gäller olikheter.

Jag vet inte om det står någonstans, men det är så jag brukar tänka för att undvika "olikhetsfällan".

okej men hur undviker man olikhetsfällan då? vad är det man bör tänka på att göra när man löser dessa typer av tal, är det att man ska byta håll på tecknet vid minus?

@Smaragdalena, yes det blir enklare att se lösningen då vilket jag även gjort men vill gärna veta hur man räknar på det mer då jag inte kommer hinna rita om det är flera uppgifter att göra eller när de blir mer komplexa. hur ser stegen ut för att lösa dessa?

Du kommer att spara massor av rid om du lär dig att göra en snabb skiss för hand. $(x-a)^2$ ser ut som en glad mun, d v s de minsta värdena ligger mellan de dtäölen där kvadraten är lika med 1/4.

Maremare skrev:

okej men hur undviker man olikhetsfällan då? vad är det man bör tänka på att göra när man löser dessa typer av tal, är det att man ska byta håll på tecknet vid minus?

...

Jag rekommenderar också att rita, eller åtminstone göra en enkel mental bild av grafen i huvudet:

"Få se nu, vi har $(x-a)^2<b$. Eftersom detta är en 'positiv' andragradare (glad mun), så finns det en minimipunkt vid $x=a$. Grafen ska ligga under den horisontella linjen $y=b$, det betyder att lösningen måste ha formen $c<x<d$".

-----

Om du vill ha tips på en algebraisk lösning så är mitt förslag just det jag skrev tidigare, nämligen att $a^2<b$ har lösningarna $\pm a<\sqrt{b}$. Då löser allt ut sig av sig själv snyggt och prydligt.

Det här har blivit en märklig upptäcktsresa i olikheternas underbara värld!

Själv skulle jag ha ritat grafen och kollat när parabeln ligger under linjen, $y=\frac{1}{4}$. Skulle jag försökt mig på en algebraisk lösning hade jag nog gjort så här:

${(x-\frac{7}{2})}^2-\frac{1}{4}=(x-\frac{7}{2}+\frac{1}{2})(x-\frac{7}{2}-\frac{1}{2})=(x-3)(x-4)$

För att produkten ska bli negativ, måste faktorerna ha motsatta tecken, Då måste det antingen gälla att [x > 3 och x < 4, dvs 3 < x < 4] eller [x < 3 och x > 4]. Den senare kombinationen är omöjlig. Alltså gäller 3 < x < 4 .

Resonemanget om ± på den ena sidan men inte på den andra är ju riktigt, men vilken är den ena och den andra sidan? Särskilt om det står kvadrater på båda sidorna.  Det ter sig obegripligt asymmetriskt för en ovan läsare (lösare) som jag, som aldrig har sett detta förut.

Men nu har jag lärt mig något igen.