För vilka x är funktionen växande respektive avtagande med tecken

Hej!

Jag har en funktion med definitions mängden x $\geq$ 0, en maximipunkt vid x=1/(3)^0.5 och jag ska bestämma för vilket intervall funktionen är växande respektive avtagande.

Jag tänkte att man skulle skriva det så här:

f(x) är växande för $0 \leq x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ iom att funktionen är växande från x=0, fram tills precis innan $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

för där är ju lutningen noll, alltså inte växande längre..

I facit står det $0 \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ .. Varför inkluderar man punkten där lutningen är noll?

och f(x) är avtagande för $x > \frac{1}{\sqrt{3}}$ iom att funktionen inte är växande vid $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

I facit står det $x \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ . Så igen.. Varför inkluderar man den punkten där lutningen är noll?

Att en funktion är växande i ett intervall där både a och b ingår betyder att f(b) $\geq$ f(a) om b > a.
Att en funktion är avtagande i ett intervall där både a och b ingår betyder att f(b) $\leq$ f(a) om b > a.

Nu vet vi ju inte hur din f(x) ser ut, men om den saknar andra stationära punkter än den angivna maxpunkten så stämmer svaret I facit överens med definitionen växande/avtagande funktioner

Du kn läsa mer om definitionerna här.

Okej, så man inkluderar ALLTID den punkten där derivatan är noll när man avgör för vilket intervall funktionen är växande respektive avtagande? Funktionen är $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{2} + 1}$ om det fortfarande spelar någon roll.

Nja, inte alltid.

Ta t.ex. funktionen f(x) = x³.

Derivatan f'(x) = 3x² har värdet 0 i origo (en terrasspunkt).

Den funktionen är växande överallt (till och med strängt växande överallt), även i origo.

Men den funktionen är inte avtagande någonstans, inte ens i origo där derivatan är lika med 0.

För funktionen f(x) = -x³ är det tvärtom, den är (strängt) avtagande överallt och inte växande någonstans.

======

En intressant sak är att en kostant funktion, t.ex. f( x) = a enligt definitionen är både växande och avtagande överallt. Men den funktionen är varken strängt växande eller strängt avtagande någonstans.

Aha va coolt! Tack för hjälpen, du förklarar väldigt bra :D

Svara

Visa senaste svar