För vilka vinklar

Hur skulle du göra för att lösa ekvationen $\sin{(3v)}=\frac{1}{2}$? :)

Jag skulle lösa ekvationen som jag har gjort ovan i uträkningen

Tips: sin(3v) < 1/2 är uppfyllt för hela det rödmarkerade området.

Det krävs alltså lite finurlighet för att hitta vinklarna.

Men det finns ett gränsvärde på vinkeln v

som endast får vara mellan 0  och 90

Ja, och om 0° < v < 90° så gäller det att 0° < 3v < 270°, eller hur?

Hur menar du? Jag förstår inte 

OK vi tar det från ett annat håll istället.

Kalla vinkeln 3v för x, precis som du har gjort i din uträkning.

Olikheten blir då sin(x) < 1/2.

De vinklar x som uppfyller denna olikhet kan representeras av det rödmarkerade området i mitt första svar, dvs

0° $\leq$ x < 30° och 150° < x < 360°

(Jag hoppar över periodiciteten här eftersom vi endast är intresserade av vinklar i "första varvet".)

Om vi nu byter tillbaka från x till v så får vi att olikheten är uppfylld i följande fall:

0° $\leq$ 3v < 30° och 150° < 3v < 360°

Om vi dividerar båda dessa olikheter med 3 så får vi:

0° $\leq$ v < 10° och 50° < v < 120°

Men vi är bara intresserade av de vinklar v som ligger i intervallet 0° < v < 90°, vilket ger oss svaret

0° < v < 10° och 50° < v < 90°

Hur kom du fram till detta ”150° < 3v < 360°”?

Är du med på (se figur) att alla vinklar i intervallet 150° < x < 360° uppfyller olikheten sin(x) < 1/2?

Nja tror att jag kommer behöva ytterligare en förklaring på varför det ska vara så

Se ny bild.

1. Ar du med på att sin(150°) = 1/2?
2. Är du med på att sin(x) < 1/2?
3. Är du med på att sin(x) < 1/2 eftersom skärningen mellan den röda radien och enhetscirkeln ligger under den horisontella linjen på höjd 1/2?
4. Är du med på att sin(x) < 1/2 för alla vinklar x där skärningen mellan radien och enhetscirkeln ligger under den horisontella linjen på höjd 1/2?

Japp jag är med på alla dina punkter 

Bra. Är du då även med på att sin(x) < 1/2 för alla vinklar x där skärningen mellan radien och enhetscirkeln ligger i det blå- eller rödmarkerade området?

Okej men hur kommer det sig att det blåa intervallet blir  360>v>150?

Det blir det inte. Vinkeln vi pratar om nu är x, inte v.

Det blåa intervallet motsvarar alltså 150° < x < 360°.

Vad i det är det som är konstigt?

1. Är det att det blåa intervallet börjar vid vinkeln 150°?
2. Är det att det blåa intervallet slutar vid 360°?
3. Är det att vinkeln x ligger mellan dessa ändpunkter?
4. Är det något annat?

Det är punkt nummer 3 som jag behöver ha förklaring på

Om vinkeln x ligger mellan dessa värden så är sin(x) < 1/2 eftersom skärningen mellan radien och enhetscirkeln då hamnar under den horisontella linjen på höjd 1/2.

Är du med på det?

Okej alltså är 

   360> x>150

men x kan också vara 

      30 >x>0

Ja det stämmer. Nästan.

Ekvationen sin(x) < 1/2 har i intervallet 0° $\leq$ x < 360° lösningarna 

0° $\leq$ x < 30°

och

150° < x < 360°

Varför ska det inte vara 

150< x ≤ 360 

Eftersom jag endast sökte efter lösningar som uppfyller x < 360°.

Men om vi även inkluderar 360° bland de sökta lösningarna så javisst, då ska det vara 150° < x $\leq$ 360°.