För vilka värden på x är f(x)>0? (Matematik/Matte 3/Algebraiska uttryck)

De menar att x kan vara mellan - 1 och 0, och större än 1. Alltså x kan inte vara mellan 0 och 1.

Oxen skrev:
Låt f(x) = x³/x²-1

Det du har skrivit betyder $\frac{x^3}{x^2}-1$ , dvs $x-1$ .

Om du istället menar $\frac{x^3}{x^2-1}$ så måste du skriva parenteser runt nämnaren, så här: x³/(x²-1).

b) För vilka värden på x är f(x)>0?

Jag tänker att eftersom f(x)>0, kan x³ inte vara lika med noll. Då borde x vara större än noll och -1 eftersom dessa värden blir mindre eller lika med noll i x³.

Det stämmer att x inte kan vara lika med 0, men x måste inte vara större än 0 bara för det.

Det stämmer att x måste vara större än -1.

Ett bra sätt att lösa olikheten är följande:

En kvot har ett positivt värde om både täljare och nämnare har samma tecken (dvs båda är positiva eller båda är negativa).
En kvot har ett negativt värde om täljare och nämnare har olika tecken (dvs en är positiv och en är negativ).

Du ska alltså leta efter de värden på x för vilka både täljare och nämnare har samma tecken.

Ett effektivt sätt att göra det är att göra en teckentabell, med en rad vardera för x, täljaren, nämnaren och kvoten.

Fråga gärna om du behöver hjälp med detta.

Facit säger dock "För -1 <x<0 och x>1". Förstår inte varför x blir mindre än noll och samtidigt större än 1.

Det som menas är att lösningen består av alla x-värden som antingen uppfyller villkoret -1 < x < 0 eller uppfyller villkoret x > 1.

Tack för svar! Just det, glömde parentesen. Det ska vara x³/(x²-1). Teckentabellen låter som en bra idé. Väljer jag då valfria x-värden och skriver in vad dessa blir för funktionens täljare, nämnare och kvot för att se om täljaren och nämnaren får samma tecken?

Aha, så x kan vara mindre än noll men i det fallet större än -1?

Oxen skrev:
Tack för svar! Just det, glömde parentesen. Det ska vara x³/(x²-1). Teckentabellen låter som en bra idé. Väljer jag då valfria x-värden och skriver in vad dessa blir för funktionens täljare, nämnare och kvot för att se om täljaren och nämnaren får samma tecken?

Ja. Börja med de intressanta punkterna x = -1, x = 0 och x = 1. Ange täljarens, nämnarens och kvotens

värden vid dessa punkter
tecken mellan/utanför dessa punkter.

Gör ett försök så hjälper vi dig vidare.

Aha, så x kan vara mindre än noll men i det fallet större än -1?

Ja

Lösningsförslag som jag tror är effektivare än teckentabell.

Jag har ett förslag på hur man kan lösa denna uppgift. För att ett funktionsvärde ska bli positivt måste antingen nämnare och täljare vara negativa samtidigt, eller positiva samtidigt. Det är direkt enkelt att se att för x>1 blir båda positiva samtidigt. Nu gäller det att hitta intervallet där båda blir negativa samtidigt.

Om vi tittar på nämnaren kan den faktoriseras till $(x - 1) (x + 1)$ , så vi kan lösa en olikhet:

$(x - 1) (x + 1) < 0 \Rightarrow L = {- 1 < x < 1}$

Sedan tittar vi på för vilka värden som $x^{3} < 0$ och ser om vi hittar något överlapp mellan intervallen. Det blir ganska enkelt att se att $x < 0$ alltid ger en negativ täljare.

Och titta där, x<0 ligger ju vårt intervall sedan tidigare :O. Nu ska vi alltså slå ihop de två intervallen. För alla x<0 blir x³ negativ, och x²-1 likaså. För alla x<-1 blir nämnaren positiv, så där måste gränsen gå. Då får vi intervallen -1<x<0 och x>1. :)

Yngve skrev:
Oxen skrev:
Tack för svar! Just det, glömde parentesen. Det ska vara x³/(x²-1). Teckentabellen låter som en bra idé. Väljer jag då valfria x-värden och skriver in vad dessa blir för funktionens täljare, nämnare och kvot för att se om täljaren och nämnaren får samma tecken?

Ja. Börja med de intressanta punkterna x = -1, x = 0 och x = 1. Ange täljarens, nämnarens och kvotens

värden vid dessa punkter

tecken mellan/utanför dessa punkter.

Gör ett försök så hjälper vi dig vidare.

Aha, så x kan vara mindre än noll men i det fallet större än -1?

Ja

Okej, har gjort följande tabell:

Jag ser att om x är 1, -1 eller 0 bli kvoten 0, alltså kan x inte anta dessa värden. Däremot kan x vara större än 1. Måste ett funktionsvärde alltid vara positivt? Alltså x kan inte anta värdet -2 vilket ger kvoten -2,7?

naytte skrev:

Lösningsförslag som jag tror är effektivare än teckentabell.

Jag har ett förslag på hur man kan lösa denna uppgift. För att ett funktionsvärde ska bli positivt måste antingen nämnare och täljare vara negativa samtidigt, eller positiva samtidigt. Det är direkt enkelt att se att för x>1 blir båda positiva samtidigt. Nu gäller det att hitta intervallet där båda blir negativa samtidigt.

Om vi tittar på nämnaren kan den faktoriseras till $(x - 1) (x + 1)$ , så vi kan lösa en olikhet:

$(x - 1) (x + 1) < 0 \Rightarrow L = {- 1 < x < 1}$

Sedan tittar vi på för vilka värden som $x^{3} < 0$ och ser om vi hittar något överlapp mellan intervallen. Det blir ganska enkelt att se att $x < 0$ alltid ger en negativ täljare.

Och titta där, x<0 ligger ju vårt intervall sedan tidigare :O. Nu ska vi alltså slå ihop de två intervallen. För alla x<0 blir x³ negativ, och x²-1 likaså. För alla x<-1 blir nämnaren positiv, så där måste gränsen gå. Då får vi intervallen -1<x<0 och x>1. :)

Jaha, så x<0 blir negativ i täljaren och nämnaren som blir positiv i kvoten och x>1 är positiv i täljaren, nämnaren och kvoten. Tack för förklaringen :) Sedan kan x inte vara mindre än -1 eftersom kvoten då blir negativ?

Oxen skrev:
Okej, har gjort följande tabell:

Jag ser att om x är 1, -1 eller 0 bli kvoten 0, alltså kan x inte anta dessa värden.

Nej, när x = -1 eller x = 1 så blir nämnaren lika med 0 och då blir kvoten odefinierad.

Däremot kan x vara större än 1. Måste ett funktionsvärde alltid vara positivt? Alltså x kan inte anta värdet -2 vilket ger kvoten -2,7?

Nej, ett funktionsvärde kan mycket väl vara negativt. Ta t ex. funktionen f(x) = 1-x. Funktionsvärdet är positivt för alla x < 1 och negativt för alla x > 1.

Vad gäller din teckentabell så behöver du endast skriva värden vid de intressanta punkterna x = -1, x = 0 och x = 1.

I intervallen mellan och utanför dessa räcker det om du anger vilket tecken (+ eller -) som de olika komponenterna har.

Och vanligtvis gör man teckentabellen horisontellt, så här t.ex.

Yngve skrev:
Och vanligtvis gör man teckentabellen horisontellt, så här t.ex.

Hur vet man om 0 blir positivt eller negativt i tabellen?

Oxen skrev:

Hur vet man om 0 blir positivt eller negativt i tabellen?

Jag förstår inte riktigt din fråga.

Talet 0 är varken positivt eller negativt.

Men vad betyder då tecknena +, - i tabellen?

+ betyder att värdet är positivt, dvs större än 0.

- betyder att värdet är negativt, dvs mindre än 0.

Du kan läsa av tabellen kolumnvis från vänster till höger, så här:

När x < -1 så är täljaren negativ och nämnaren positiv. Kvoten är därför negativ.
När x = -1 så är täljaren lika med -1 och nämnaren lika med 0. Kvoten är.därför odefinierad.
När -1 < x < 0 så är både täljaren och nämnaren negativa. Kvoten är därför positiv.
När x = 0 så är täljaren lika med 0 och nämnaren lika med -1. Kvoten är därför lika med 0.
När 0 < x < 1 så är täljaren positiv och nämnaren negativ. Kvoten är därför negativ.
När x = 1 så är täljaren lika med 1 och nämnaren lika med 0. Kvoten är.därför odefinierad.
När x > 1 så är både täljaren och nämnaren positiva. Kvoten är därför positiv.

Jaha, jag tror jag förstår bättre hur tabellen fungerar nu. Men jag undrar, tecknena markerade i bilden nedan, deras värde - eller + beror på tecknena - eller+ som är till höger respektive vänster om det? Alltså t.ex täljaren längst upp mellan noll och 1 blir positiv efter den beror på 0 och 1 som är till vänster respektive höger om den?

Ja, den kolumnen (se bild) visar att

täljaren är positiv (+) överallt i intervallet 0 < x < 1
nämnaren är negativ (-) överallt i intervallet 0 < x < 1
kvoten är negativ (-) överallt i intervallet 0 < x < 1