För vilka värden på det reella talet a har ekv 2 lösningar?

Tänker att för precis 2 lösningar så behöver du tangering med horisontell tangent i en punkt och en till skärningspunkt.

Var har VL horisontella tangenter?

Dr. G skrev:

Tänker att för precis 2 lösningar så behöver du tangering med horisontell tangent i en punkt och en till skärningspunkt.

Var har VL horisontella tangenter?

Jag förstår ej riktigt vad du menar med det 

Men såhär löste jag frågan

Tänker att för precis 2 lösningar så behöver du tangering med horisontell tangent i en punkt och en till skärningspunkt.

Det är kanske inte lätt att inse rent analytiskt. Men det blir uppenbart om man ritar grafen med geogebra.

Macilaci skrev:

Tänker att för precis 2 lösningar så behöver du tangering med horisontell tangent i en punkt och en till skärningspunkt.

Det är kanske inte lätt att inse rent analytiskt. Men det blir uppenbart om man ritar grafen med geogebra.

Ah okej hur gör man om man ej har tillgång till geogebra på tentan och ska lösa det algebraiskt? Kan ju rita den nu och så mha geogebra. Dock sätter den ett värde på a vilket jag ej begriper varför den gör det?

Du öppnade geogebra för geomatri, du behöver geogebra för algebra.

Jag ritade för hand först och kom på samma tanke som Dr. G.

Det här är min första skiss:

(Det var lättare att skissa y=2sinx och y=a-x än y=x+2sinx) 

Macilaci skrev:

Jag ritade för hand först och kom på samma tanke som Dr. G.

Det här är min skiss:

(Det var lättare att skissa y=2sinx och y=a-x än y=x+2sinx) 

Aa jag ritade så nu

Det jag tänkte "utan att rita" var att

x antar alla värden. Derivatan ör alltid 1.

2sin(x) är mellan -2 och 2. Derivatan är mellan -2 och 2. 

Derivatan på hela alltet kommer då att vara mellan -1 och 3. 

Dr. G skrev:

Det jag tänkte "utan att rita" var att

x antar alla värden. Derivatan ör alltid 1.

2sin(x) är mellan -2 och 2. Derivatan är mellan -2 och 2. 

Derivatan på hela alltet kommer då att vara mellan -1 och 3. 

Så jag ska derivera funktionen och söka derivatans nollställen ? Jag förstår ej riktigt var -1 och 3 kommer ifrån?

Ja, du ska hitta maximi- och minimipunkterna.

Jag förstår ej riktigt var -1 och 3 kommer ifrån?

Det är "värsta" och "bästa" fallet. 1+(-2) och 1+2

Macilaci skrev:

Ja, du ska hitta maximi- och minimipunkterna.

Jag förstår ej riktigt var -1 och 3 kommer ifrån?

Det är "värsta" och "bästa" fallet. 1+(-2) och 1+2

Jag hänger tyvärr ej med vad du menar med plus och minus fallet. Ska man ej multiplicera med 2 *-1 och 2*1 då vi vet sinx pendlar mellan -1 och 1?

Så långt kom jag. Nästa steg är teckentabell eller andraderivata studie?

Ja. Det stämmer.

Men för cosx=-0,5 finns en till lösning: x=4pi/3 +n*2pi

Macilaci skrev:

Ja. Det stämmer.

Men för cosx=-0,5 finns en till lösning: x=4pi/3 +n*2pi

Okej beror det ej på i vilket intervall vi tittar på? Hur får du fram andra lösningen?

Perioden för cosx är 2*pi så du behöver kontrollera alla fyra kvadranter.

Alternativt kan du tänka på att cos(x) är en jämn funktion (symmetrisk kring y-axeln). Så den andra lösningen blir -2pi/3 + n*2pi (vilket är lika med x=4pi/3 +n*2pi).

Macilaci skrev:

Perioden för cosx är 2*pi så du behöver kontrollera alla fyra kvadranter.

Alternativt kan du tänka på att cos(x) är en jämn funktion (symmetrisk kring y-axeln). Så den andra lösningen blir -2pi/3 + n*2pi (vilket är lika med x=4pi/3 +n*2pi).

Du menar att den är symmetrisk kring x axeln? Förstår ej vad du menar med symmetrisk kring y axeln? Jag har för mig sinx är symmetrisk kring y axeln för samma värde den kan anta. 

Gällande andra lösningen som du säger är -2pi/3+n*2pi. Vad gjorde du för att få 4pi/3+n*2pi? Kan man typ ej tänka liksom vi har -2pi/3 och vi adderar med pi så får vi 5pi/3? Cos(pi-v) där v= -2pi/3

Nu har jag två extrempunkter. Vad innebär det för a då?

Du menar att den är symmetrisk kring x axeln? Förstår ej vad du menar med symmetrisk kring y axeln? Jag har för mig sinx är symmetrisk kring y axeln för samma värde den kan anta. 

OBS en funktion kan inte vara symmetrisk kring x-axeln eftersom enligt definitionen kan funktionen bara ha maximum ett värde för varje x.

sin(x) är inte symmetrisk kring y-axeln, utan den är symmetrisk kring origo (punktsymmetri).

cos(x) är däremot symmetrisk kring y-axeln (linjesymmetri).

Macilaci skrev:

Du menar att den är symmetrisk kring x axeln? Förstår ej vad du menar med symmetrisk kring y axeln? Jag har för mig sinx är symmetrisk kring y axeln för samma värde den kan anta. 

OBS en funktion kan inte vara symmetrisk kring x-axeln eftersom enligt definitionen kan funktionen bara ha maximum ett värde för varje x.

sin(x) är inte symmetrisk kring y-axeln, utan den är symmetrisk kring origo (punktsymmetri).

cos(x) är däremot symmetrisk kring y-axeln (linjesymmetri).

Ah okej

Tillägg: 21 okt 2023 11:51

Du skrev $\cos (\mathrm{\pi }-\mathrm{\nu })$ i stället för  $\cos (2\pi -\nu )$

Macilaci skrev:

---

Tillägg: 21 okt 2023 11:51

Du skrev $\cos (\mathrm{\pi }-\mathrm{\nu })$ i stället för  $\cos (2\pi -\nu )$

Jaa det gjorde jag. Jag förstår ej varför man ska ha cos(2pi-v) för att det ska passa svaret du fick. Vad är skillnaden om jag tar cos(pi-v) samt cos(2pi-v)?

Nu har du maximipunkten vid x=2pi/3 :

$f\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{2\mathrm{\pi }}{3} + \sqrt{3}$

(OBS du grorde något fel, kanske tittade på f''(x) men du ska ha + sqrt(3) )

Macilaci skrev:

Nu har du maximipunkten vid x=2pi/3 :

$f\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{2\mathrm{\pi }}{3} + \sqrt{3}$

(OBS du grorde något fel, kanske tittade på f''(x) men du ska ha + sqrt(3) )

Aa jag rättade till detta för x=2pi/3 nu. 

Kolla grafen:

2pi-2pi/3 är lösning (och det är lika med 4pi/3)

pi-2pi/3 är inte lösning

Macilaci skrev:

Kolla grafen:

2pi-2pi/3 är lösning (och det är lika med 4pi/3)

pi-2pi/3 är inte lösning

Så fort man har negativa vinklar så ska man lösa det med cos(2pi-v)? Känns nästan som det. Cos(pi-v) verkar fungera för positiva v alltså.

Du kan också rita en bättre enhetscirkel och se att andra vinkeln blir 2pi-nu och inte pi-nu

Macilaci skrev:

Du kan också rita en bättre enhetscirkel och se att andra vinkeln blir 2pi-nu

Även om jag ritade en så säger du att den är fel? Vill du svara på min fråga om man ska använda cos(2pi-v) för negativa vinklar?

Kom igen! Du kan rita än mycket snyggare  och tydligare enhetscirkel än den.

Så fort man har negativa vinklar så ska man lösa det med cos(2pi-v)?

Ja. 2pi-v är samma vinkel som -v (och samma som -v + n*2pi).

Cos(pi-v) verkar fungera för positiva v alltså.

Nej, det gör det inte.

Jag ritade en bild nu men jag förstår fortfarande ej hur du vill att jag får samma svar som dig

Macilaci skrev:

Kom igen! Du kan rita än mycket snyggare  och tydligare enhetscirkel än den.

Så fort man har negativa vinklar så ska man lösa det med cos(2pi-v)?

Ja. 2pi-v är samma vinkel som -v (och samma som -v + n*2pi).

Cos(pi-v) verkar fungera för positiva v alltså.

Nej, det gör det inte.

cos(2p-v)=cos(v)? Om det ej bara fungerar för positiva v. Varför är det så att det ej går för negativa v?  Varför måste vi tillämpa cos(2pi-v) för specifikt -2pi/3 ? Varför är det fel när jag använder cos(pi-v) för att lägga in v=-2pi/3?

Mycket bättre skiss!

Här är min:

Det råder något missförstånd.

• cos(2pi - v) = cos(-v) fungerar för både positiva och negativa vinklar eftersom perioden av cos(x)  är 2pi
• cos(2pi - v) = cos(v) fungerar för både positiva och negativa vinklar eftersom cos(v) = cos(-v) för cos är en jämn funktion
• cos(pi - v) = cos(v) fungerar inte alls
• cos(pi - v) = cos(-v) fungerar inte alls

Macilaci skrev:

Mycket bättre skiss!

Här är min:

Det råder något missförstånd.

• cos(2pi - v) = cos(-v) fungerar för både positiva och negativa vinklar eftersom perioden av cos(x)  är 2pi
• cos(2pi - v) = cos(v) fungerar för både positiva och negativa vinklar eftersom cos(v) = cos(-v) för cos är en jämn funktion
• cos(pi - v) = cos(v) fungerar inte alls
• cos(pi - v) = cos(-v) fungerar inte alls

Ah okej så det finns ingen förklaring på varför de två sista punkterna ej fungerar på samma sätt som de två första punkterna? En dum fråga också varför drar man 2pi från  v2 för att få v2 i tredje kvadranten medan hos v1 drar man bara bort pi? 

Finns ingen dum fråga :)

Den röda vinkeln är lika stor som v₁. Om du lägger den till v₂ får du en hel cirkel (dvs 2pi).

så v₁+v₂=2pi

Den gröna är pi -v₁ vilken är en spetsig vinkel som har positiv cosinus. (Och vi hade negativ cos hela tiden)

Macilaci skrev:

Finns ingen dum fråga :)

Den röda vinkeln är lika stor som v₁. Om du lägger den till v₂ får du en hel cirkel (dvs 2pi).

så v₁+v₂=2pi

Den gröna är pi -v₁ vilken är en spetsig vinkel som har positiv cosinus. (Och vi hade negativ cos hela tiden)

Du säger att röda vinkeln är lika stor som v1. Är det -v1 då eller bara v1 =v1 ? Är ej gröna vinkeln resultatet av pi-v1? spetsig ser jag ej hur den är men jag tänker mig typ en vinkel mellan 90 och 180 grader om man antar att v1=60 grader. Vill du snälla förklara varför det ej fungerar för de två sista punkterna?

Tja det beror på hur vi ser på det. Egentligen är det -v₁ om vi räknar från x-axeln. Men i detta fall ska vi också ta hänsyn till att det går medurs, medan v₁ och v₁ går moturs. Så

v₂ - (-v₁) = 2pi

(första minustecken för motsatt riktning, andra minustecken för negativt värde)

dvs

v₂ + v₁ = 2pi

Macilaci skrev:

Tja det beror på hur vi ser på det. Egentligen är det -v₁ om vi räknar från x-axeln. Men i detta fall ska vi också ta hänsyn till att det går medurs, medan v₁ och v₁ går moturs. Så

v₂ - (-v₁) = 2pi

dvs

v₂ + v₁ = 2pi

så vi har två fall

v1+v2 =2pi då v1 är positiv och när v1 är negativ när du sa att v1 =-v1 är identiska så har vi 

-v1+v2=2pi

Nej, vi har bara ett fall. Om vi inte tar hänsyn till positiv/negativ riktning får vi

v₁ + v₂ = 2pi

Om vi däremot tar hänsyn till vinklarnas riktning (förtecken), får vi 

v₁ + v₂ = 2pi

Macilaci skrev:

Nej, vi har bara ett fall. Om vi inte tar hänsyn till positiv/negativ riktning får vi

v₁ + v₂ = 2pi

Om vi däremot tar hänsyn till vinklarnas riktning (förtecken), får vi 

v₁ + v₂ = 2pi

Hur ser man på positiv och negativ riktning då och hur tänker man när man ej tar hänsyn till positiv/negativ riktning? Jag kan  nämligen ej visualisera det korrekt som dig. Asså allt jag ser är ju att v1 som är lika som stor -v1 går moturs om vi börjar från -v1 så -v1+v2=2pi,men detta är alltså fel sätt att resonera

På det sättet jag ritade det (vinklarna har inga pilar) ser man bara positiva vinklar på skissen. I detta fall motsvarar enhetscirkeln 0 < x < 2pi regionen. (Bara positiva vinklar från 0 till 2pi.)

Jag tycker att det är kanske det säkraste sättet att räkna, man blir inte förvirrad med plus/minus.

Macilaci skrev:

På det sättet jag ritade det (vinklarna har inga pilar) ser man bara positiva vinklar på skissen. I detta fall motsvarar enhetscirkeln 0 < x < 2pi regionen. (Bara positiva vinklar från 0 till 2pi.)

Jag tycker att det är kanske det säkraste sättet att räkna, man blir inte förvirrad med plus/minus.

Aa okej ja precis jag håller med. Om man ska titta på negativa vinklar får man vända på som du gjorde i skissen och titta på -2pi <x<0 antar jag  för då får man symmetri. Så v1+v2 =2pi gäller då v1 och v2 är positiva vinklar  och om båda är negativa blir det -v1-v2=-2pi?

Ja, precis. Man kunde också ta -pi < x < pi. Då blir vinklarna i övre halvplanet positiva och i nedre halvplanet negativa.

Men som sagt 0 < x < 2pi är säkrast.

Macilaci skrev:

Ja, precis. Man kunde också ta -pi < x < pi. Då blir vinklarna i övre halvplanet positiva och i nedre halvplanet negativa.

Men som sagt 0 < x < 2pi är säkrast.

Ja jag förstår. Vilka slutsatser kan vi dra nu om a?

Vår första lösning är x=2pi/3+n*2pi

vid 2pi/3 blir funktionsvärdet $f\left(x\right) = f\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{2\mathrm{\pi }}{3} + \sqrt{3}$

Vid 2pi/3 + n*2pi blir det 

$f(\frac{2\mathrm{\pi }}{3} + n*2\mathrm{\pi }) =\mathbf{ }\frac{2\mathrm{\pi }}{3} + \sqrt{3} + n*2\mathrm{\pi }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{ }{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{n}\mathbf{*}\mathbf{2}\mathbf{\pi }$

(Inom x+2sinx är det bara x som beror på +n*2pi termen, eftersom 2sin(x+n*2pi) = 2sin(x) på grund av periodiciteten.)

På liknande sätt blir a vid andra lösningen (x = -2pi/3): 

${\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{n}\mathbf{*}\mathbf{2}\mathbf{\pi }$

Macilaci skrev:

Vår första lösning är x=2pi/3+n*2pi

vid 2pi/3 blir funktionsvärdet $f\left(x\right) = f\left(\frac{2\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{2\mathrm{\pi }}{3} + \sqrt{3}$

Vid 2pi/3 + n*2pi blir det 

$f(\frac{2\mathrm{\pi }}{3} + n*2\mathrm{\pi }) =\mathbf{ }\frac{2\mathrm{\pi }}{3} + \sqrt{3} + n*2\mathrm{\pi }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{ }{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{n}\mathbf{*}\mathbf{2}\mathbf{\pi }$

(Inom x+2sinx är det bara x som beror på +n*2pi termen, eftersom 2sin(x+n*2pi) = 2sin(x) på grund av periodiciteten.)

På liknande sätt blir a vid andra lösningen (x = -2pi/3): 

${\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\sqrt{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{n}\mathbf{*}\mathbf{2}\mathbf{\pi }$

Okej så man kan ej stoppa in bara x1=2pi/3 respektive x2= 4pi/3 i ursprungliga funktionen ,utan man måste stoppa in även med periodiciteten? Jag skrev att a1= 2pi/3+sqrt(3) och a2 =4pi/3-sqrt(3). Förresten frågan är ju för vilka värden på reella talet a har ekv precis 2 lösningar. Ska det bli ett intervall av svaret då?

Inte ett intervall , men oändligt många värden:

$a =\left\{\begin{array}{ll}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }& \\ \frac{4\mathrm{\pi }}{3} -\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }& \end{array}\right.$

Macilaci skrev:

Inte ett intervall , men oändligt många värden:

$a =\left\{\begin{array}{ll}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }& \\ \frac{4\mathrm{\pi }}{3} -\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }& \end{array}\right.$

Men om x=2pi/3+sqrt(3)+n*2pi och x=4pi/3-sqrt(3)+n*2pi. Hur blir det för 2sinx ? Så det betyder att a kan anta två värden eller oändligt många värden?

a kan anta två gånger oändligt många värden. (Vilket är oändligt.)

Jag beräknade $a_1=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }$  för n=0,1,2 men jag hade kunnat fortsätta så länge jag ville.

Resultatet: (a₁₀ : a₁ för n=0, a₁₁ : a₁ för n=1 osv)

a₁₀ = 3,83 

a₁₁ = 10,11

a₁₂ = 16,39

Jag också beräknade $a_2=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}-\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }$   för n=0,1,2

Resultatet: (a₂₀ : a₂ för n=0, a₂₁ : a₂ för n=1 osv)

a₂₀ = 2,46 

a₂₁ = 8,74

a₂₂ = 15,0

Jag ritade värdena i geogebra grafen:

Macilaci skrev:

a kan anta två gånger oändligt många värden. (Vilket är oändligt.)

Jag beräknade $a_1=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }$  för n=0,1,2 men jag hade kunnat fortsätta så länge jag ville.

Resultatet: (a₁₀ : a₁ för n=0, a₁₁ : a₁ för n=1 osv)

a₁₀ = 3,83 

a₁₁ = 10,11

a₁₂ = 16,39

Jag också beräknade $a_2=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}-\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }$   för n=0,1,2

Resultatet: (a₂₀ : a₂ för n=0, a₂₁ : a₂ för n=1 osv)

a₂₀ = 2,46 

a₂₁ = 8,74

a₂₂ = 15,0

Jag ritade värdena i geogebra grafen:

Så vad är svaret på frågan? Vi har 2sinx så du vet.

$a =\left\{\begin{array}{ll}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }& \\ \frac{4\mathrm{\pi }}{3} -\sqrt{3}+n*2\mathrm{\pi }& \end{array}\right.$