För vilka värden på A varierar mängden reela rötter till ekvationen 2X^2 +4AX + A

Låt A vara ett negativt tal (-A) och använd PQ-formeln.

Ja jag hänger med på att det stämmer när A är mindre än 0 eller större än en halv. Det jag däremot inte förstår är hur man kommer fram till det, då det står att A>0 när man använder nollproduktmetoden. Vad gör jag fel för att få att A ska vara större än noll istället för tvärtom? 

Gäller detta endast för 1/2?, för det ser ut som om det blir två rötter när A > 1.

Anonymous75 skrev:

Gäller detta endast för 1/2?, för det ser ut som om det blir två rötter när A > 1.

Du får två rötter så fort A>1/2. Du får endast dubbelrot vid A=0 eller vid A=1/2. Däremot förstår jag inte hur man kommer fram till att A måste vara mindre än 0 för att få två reela rötter istället för större än 0. Ifall vi vill ha två reela rötter krävs ju att A²-A/2 > 0 som ger lösningarna A₁=>0 eller A₂=>1/2. Men att A ska vara större än 0 för två reela rötter stämmer inte, utan det ska vara tvärtom dvs att A₁=<0. Min fråga är därför var jag går fel eller hur jag ska resonera för att få fram att A₁=<0, när man får att A₁=>0 om man löser ekvationen. 

Här följer lösningen för ekvationen med negativt A:

$$\begin{gathered} x^2-2Ax-A \\ {x}_1=A+\sqrt{A^2+A} \\ {x}_2=A-\sqrt{A^2+A} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2x^2 + 4AX\hspace{0.17em}+ A\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ {x}^2 + 2AX + \frac{A}{2} =\hspace{0.17em}0 \\ För dubbelrot gäller \\ x =\hspace{0.17em}-A\pm \sqrt{A^2-\frac{A}{2}} \\ {A}^2- \frac{A}{2}= 0 \\ A(A-0.5)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ {A}_{1 }= 0 \\ {A}_2\hspace{0.17em}= 0.5 \\ För reella rötter gäller. \\ {A}^2-0.5A > 0 \\ A\hspace{0.17em}> \frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}} \\ Eftersom det är en andragradare får vi \\ A > \frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{1}{2} \\ A\hspace{0.17em}< \frac{1}{4}- \frac{1}{4}\hspace{0.17em}= 0 \end{gathered}$$

Anledningen till att det är < 0 är att om du ex tar ett tal A = -6, kommer det vara större än 0 eftersom    du har A^2 = positivt och -A/2   = positivt.

Anonymous75 skrev:

Här följer lösningen för ekvationen med negativt A:

$$\begin{gathered} x^2-2Ax-A \\ {x}_1=A+\sqrt{A^2+A} \\ {x}_2=A-\sqrt{A^2+A} \end{gathered}$$

Jag är inte riktigt helt säker på om jag ställer frågan inkorrekt, för jag tror du och jag sitter och snackar om lite olika saker haha :). Vad jag försöker säga är varför A₁ ska vara < 0, för man får ju att A₁ ska vara >0 om man löser ekvationen. Varför blir det tvärtom, är det något i ekvationen som jag missar? Ekvationen är ju A²-A/2 = 0. Löser du den får vi ju att A måste vara större än en halv eller 0. Men det stämmer inte. A måste vara större än en halv eller MINDRE än 0. Hur kommer jag fram till att det är MINDRE än 0 utan att prova mig fram? Måste ju finnas ett matematiskt resonemang bakom varför olikhetstecknet bytar håll. 

Är vi alla med på varför a=0 och a=1/2 ger dubbelrot? Om inte säg till. 

Vi undersöker nu när vi har två unika lösningar.  Diskriminanten säger att så fort $\sqrt{a^2-\frac{a}{2}} >0$ så existerar det två unika lösningar till funktionen $f$. Vi kvadrerar bort roten och har kvar $a^2-\frac{a}{2}>0$, nuu gör vi oss av med nämnaren och faktoriserar som ger $a(2a-1)>0$. Denna likhet gäller då $2a-1 > 0 \iff a > \frac{1}{2}$ eller om $a < 0$ därför att när a < 0 fås -något(-något annat) = + något helt annat.

RandomUsername skrev:

$$\begin{gathered} 2x^2 + 4AX\hspace{0.17em}+ A\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ {x}^2 + 2AX + \frac{A}{2} =\hspace{0.17em}0 \\ För dubbelrot gäller \\ x =\hspace{0.17em}-A\pm \sqrt{A^2-\frac{A}{2}} \\ {A}^2- \frac{A}{2}= 0 \\ A(A-0.5)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ {A}_{1 }= 0 \\ {A}_2\hspace{0.17em}= 0.5 \\ För reella rötter gäller. \\ {A}^2-0.5A > 0 \\ A\hspace{0.17em}> \frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{1}{16}} \\ Eftersom det är en andragradare får vi \\ A > \frac{1}{4}+\frac{1}{4}= \frac{1}{2} \\ A\hspace{0.17em}< \frac{1}{4}- \frac{1}{4}\hspace{0.17em}= 0 \end{gathered}$$

 

Anledningen till att det är < 0 är att om du ex tar ett tal A = -6, kommer det vara större än 0 eftersom    du har A^2 = positivt och -A/2   = positivt.

Aha. Missade att jag kunde göra på det viset. Då hänger jag med, ditt sätt var mycket enklare än lärarens. Tusen tack för ditt svar, trevlig helg!

Sjävklart :)

En snabbare metod är att notera som vi gjort innan att dubbelrot fås då a=0 och a=1/2, då måste det gälla att vi får en unik lösning då a< 0 eller a > 1/2.

Dracaena skrev:

Är vi alla med på varför a=0 och a=1/2 ger dubbelrot? Om inte säg till. 

Vi undersöker nu när vi har två unika lösningar.  Diskriminanten säger att så fort $\sqrt{a^2-\frac{a}{2}} >0$ så existerar det två unika lösningar till funktionen $f$. Vi kvadrerar bort roten och har kvar $a^2-\frac{a}{2}>0$, nuu gör vi oss av med nämnaren och faktoriserar som ger $a(2a-1)>0$. Denna likhet gäller då $2a-1 > 0 \iff a > \frac{1}{2}$ eller om $a < 0$ därför att när a < 0 fås -något(-något annat) = + något helt annat.

Tack för svaret och tack för din tid! Inlägget precis tidigare förklarade för mig och jag hänger nu med i svängarna. Tusen tack iallafall för hjälpen och ha en fortsatt trevlig helg :)

Anonymous75 skrev:

Här följer lösningen för ekvationen med negativt A:

$$\begin{gathered} x^2-2Ax-A \\ {x}_1=A+\sqrt{A^2+A} \\ {x}_2=A-\sqrt{A^2+A} \end{gathered}$$

Tack för svaren, jag fick det förklarat för mig nu och förstår. Ha en fortsatt trevlig helg :)

Jaha, jag läste ekvationen fel... Trevlig helg!

Nollproduktmetoden säger bara att man får noll om någon av faktorerna är noll. Den säger ingenting om tecknet om faktorerna inte är noll. 

Laguna skrev:

Nollproduktmetoden säger bara att man får noll om någon av faktorerna är noll. Den säger ingenting om tecknet om faktorerna inte är noll. 

Jepp, jag insåg nu att jag endast borde använt nollproduktmetoden när jag skulle bestämma dubbelrot och därefter använda PQ för att få ett korrekt resonemang :). Trevlig helg