För vilka värden har funktionen endast ett nollställe

dx + 2x = (d+2)x

Nu kan du använda PQ-formeln som vanligt, d är en obekant du vill lösa ut.

Hur gör jag det?

Det är ett nollställe när diskriminanten är noll.

Hur ställer jag upp det? Blir det x= -2/2 +- roten ur (2/2)^2 - (-d)?

i formeln som tomast30 skrev ska p vara d+2, inte bara 2

Okej! Så x= -(d-2)/2 +- roten ut (d+2)^2/2 - (-d)? 

Går jag sedan vidare och förenklar diskrimantet till (d+2)(d+2))/2 + d = 0

d^2 + 2d + 2d + 4= 0 

d^2 + 4d + 4 = 0 

använder pq igen 

x= -4/2 +- roten ur (4/2)^2 - 4

x= -2 +- roten ur 4-4

x= -2

eller tänker jag helt fel nu?

Nej du har använt pq-formeln fel.

Jag tror du försöker hålla för många saker i huvudet samtidigt.

Börja med att skriva ekvationen överst och "pq-mallen" under så att du tydligt ser vad som är p och vad som är q:

Ekvationen är $x^2+(d+2)x-d = 0$

"Mallen" är $x^2+px+q = 0$

Om du jämför dessa term för term så ser du att

$p=d+2$

$q=-d$

Gör nu en "faktaruta" med de komponenter du behöver för att använda pq-formeln:

==================

$\frac{p}{2}=\frac{d+2}{2}$

$(\frac{p}{2})^2=(\frac{d+2}{2})^2=\frac{(d+2)^2}{4}$

$q=-d$

=====================

Stoppa nu in dessa komponenter från faktarutan i pq-formeln. Du får då

$x=-\frac{d+2}{2}\pm\sqrt{\frac{(d+2)^2}{4}-(-d)}$

Kommer du vidare därifrån?

Nej, hur går jag vidare nu?

Diskriminanten (dvs uttrycket under rotenur-tecknet) ska vara lika med 0.

Det ger dig ekvationen $\frac{(d+2)^2}{4}+d=0$ att lösa.

Stämmer det att det då blir d^2 + 8d +4=0

d= -8/2 +- roten ur (8/2)^2 - 4

d= -4 +- roten ur 12

Julialarsson321 skrev:

Stämmer det att det då blir d^2 + 8d +4=0

d= -8/2 +- roten ur (8/2)^2 - 4

d= -4 +- roten ur 12

Pröva!

• Om $d=-4+\sqrt{12}$ så blir $f(x)=x^2+(\sqrt{12}-2)x+4-\sqrt{12}$. Hur många nollställen har den funktionen?
• Om $d=-4-\sqrt{12}$ så blir $f(x)=x^2+(-\sqrt{12}-2)x+4+\sqrt{12}$. Hur många nollställen har den funktionen?

Så funktionen har alltså 2 st nollställen 

d1= 4 + roten ur 12 

d2= 4- roten av 12

eller har jag räknat helt fel nu?

Nja, inte helt rätt.

Värdet på konstanten d avgör hur många reella nollställen funktionen f(x) = x²+(d+2)x-d har.

Om d är lika med något av de uträknade värdena så har f(x) endast 1 nollställe. För andra värden på d har funktionen antingen 0 eller 2 reella nollställen.

Värdet på d avgör värdet på diskriminanten (se svar #4). Om diskriminanten är

• mindre än 0 så har funktionen inga reella nollställen
• lika med 0 så har funktiomen ett reellt nollställe
• större än 0 så har funktionen två reella nollställen

Du kan laborera lite med grafen till y = f(x) t.ex. i Desmos.

Du kan läsa mer om pq-formeln och diskriminantens betydelse här.

Tillägg: 21 nov 2022 11:22

Dra i reglaget för d i Desmos så ser du hur parabeln förflyttas.

Okej. Jag testade att räkna ut såhär:

(d+2^2/4 +d=0

(d^2+4d+4)/4 +d=0

d^2+4d+4+4d=0

d^2 +8d +4=0

(-8+- roten ur 8^2-4*1*4)/2*1

(-8 +- roten ur 64-15)/2

d1= -4-2 roten ur 3

d2= -4+2 roten ur 3

Jag bifogar en bild på frågan med svarsalternativen, jag hittar inget svar som jag tycker funkar

Jag ber om ursäkt för att jag vilseledde dig.

Svaret på frågan i uppgiften är $d=-4\pm\sqrt{12}$, så du hade helt rätt i svar #11.

Det som inte var rätt i ditt svar #13 var att dessa värden på $d$ var nollställen till $f(x)$.

=======

För övrigt är $12=4\cdot3$, vilket innebär att $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{4}\sqrt{3}=2\sqrt{3}$