För vilka värden är funktionerna växande

Jag tycker att du är på rätt spår. Du har att $e^x-1>0 \iff e^x>1 \iff ln(e^x)>ln(1)$, kan du förenkla detta?

Jag förenklar det vidare till att 

x > ln (1)

Du kan förenkla högerledet ytterligare.

Och så bör det vara $\geq$ istället för $>$.

Längst ner i uträkningen får jag att x inte är definierat ... Jag förstår inte felet i min uträkning längst ner (rad 17 & 16)

Gör som Yngve sa och ändra olikheterna till $\geq 0$, jag missade det också men vi säger att en funktion är växande även då derivatam är 0. Den andra är nog lättare att resonera sig fram på. När är e^x <0 eller överhuvudtaget någon exponentialfunktion <0?

Okej jag glömde säga dit tecknet men självaste uträkningen är den rätt?/fel?

$\ln(1)=..$ det är ett känt värde som är enkelt att härleda, fundera på definitionen av ln. I övrigt om du ändrar olikheten stämmer första. Den andra stämmer också men varför tror du att ditt resultat är odef? Kan du komma på ett värde på x som gör att $e^x=0$ eller ännu bättre, $e^x <0$?

Vet faktiskt inte varför det inte är odefinierat 

Olikheten lyder ju $e^x\geq -1$

Finns det något värde på $x$ för vilket olikheten inte är uppfylld, dvs antar uttrycket $e^x$ någonsin ett värde som är mindre än -1?

Rita grafen till $y=e^x$ om du är osäker.

Nej det finns inte. Alltså finns det inget värde på x som ger att funktionen f(x)=e^x +x är växande 

Der stämmer att det inte finns, men det betyder tvärtom att funktionen är växande överallt.

=============

Uttrycket $e^x$ antar aldrig ett värde som är mindre än $-1$.

Det betyder att olikheten $e^x\geq -1$ alltid är uppfylld.

Det betyder att funktionen $f(x)=e^x+x$ är växande överallt.

Låt din grafräknare rita grafen till $f(x)$ så ser du att det verkar stämma.

Yngve skrev:

Der stämmer att det inte finns, men det betyder tvärtom att funktionen är växande överallt.

=============

Uttrycket $e^x$ antar aldrig ett värde som är mindre än $-1$.

Det betyder att olikheten $e^x\geq -1$ alltid är uppfylld.

Det betyder att funktionen $f(x)=e^x+x$ är växande överallt.

Låt din grafräknare rita grafen till $f(x)$ så ser du att det verkar stämma.

Jag förstår inte varför funktionen alltid är växande?

Vilken/vilka av följande punkter är du inte med på?

1. Om $f'(x)\geq0$ överallt så är $f(x)$ växande överallt.
2. Eftersom $f(x)=e^x+x$ så gäller att $f'(x)=e^x+1$.
3. Uttrycket $e^x+1$ är alltid större än $0$.
4. Det betyder att $f'(x)>0$ överallt.
5. Det betyder att $f(x)$ är växande överallt.

Punkt 3 är jag inte med på. Hur kommer du fram till att uttrycket e^x +1 är alltid större än 0?

Det gjorde du själv här i och med att du konstaterade att det inte finns någon värde på $x$ som gör att $e^x<-1$, vilket innebär att olikheten $e^x\geq -1$ alltid är uppfylld, vilket i sin tur innebär att olilheten $e^x+1\geq0$ alltid är uppfylld.

Varför utgår man isåfall inte från att funktionen

f(x)=e^x -x 

och derivatan e^x -1 >0  för alla värden på x. 

Varför skulle det vara samma?

Funktionen $f(x)=e^x-x$ har derivatan $f'(x)=e^x-1$.

Denna derivata är inte större än eller lika med 0 överallt, utan endast då $e^x\geq1$, dvs då $x\geq0$.

Yngve skrev:

Varför skulle det vara samma?

Funktionen $f(x)=e^x-x$ har derivatan $f'(x)=e^x-1$.

Denna derivata är inte större än eller lika med 0 överallt, utan endast då $e^x\geq1$, dvs då $x\geq0$.

Jag förstår inte riktigt hur du resonerar 

Vad förstår du inte?

1. Funktionen $f(x)=e^x-x$ har derivatan $f'(x)=e^x-1$
2. Funktionen $f(x)$ är växande där $f'(x)\geq0$
3. Olikheten $f'(x)\geq0$ innebär att $e^x-1\geq0$
4. Olikheten $e^x-1\geq0$ kan skrivas $e^x\geq1$
5. Olikheten har lösningarna $x\geq0$
6. Det betyder att $f'(x)\geq0$ då $x\geq0$
7. Det betyder att $f(x)$ är växande då $x\geq0$

Från steg 5 förstår jag inte. Dvs jag förstår inte steg 5 ,  steg 6 och steg 7

Steg 5:

$e^x\geq1$

Logaritmera bägge sidor.

$\ln(e^x)\geq\ln(1)$

Logaritmlag i vänsterledet:

$x\cdot\ln(e)\geq\ln(1)$

I vänsterledet: $\ln(e)=1$:

$x\geq\ln(1)$

I högerledet: $\ln(1)=0$:

$x\geq0$

Hänger du med på steg 6 och 7 då?

Okej. Men för funktionen f(x)=e^x +x 

då får man att x är större eller lika med ln(-1)

Jag hängde inte med på hur man skulle göra om man får ett sådant värde. För ln(-1) är odefinierat ju

Du undrar alltså över varför uttrycket $e^x+1$ alltid är större än eller lika med 0.

Är du med på att $e^x$ alltid är större än 0, dvs att $e^x>0$ alltid gäller?

Om ja: Addera 1 till båda sidor av olikheten.

Du får då att olikheten $e^x+1>1$ alltid gäller.

Det betyder även att olikheten $e^x+1\geq0$ alltid gäller.

 Nej jag undrade hur man skulle svara 

om man får att 

x> ln(-1)

Svaret är att du inte kommer att hamna i den situationen.

Du kan helt enkelt inte logaritmera högerledet i olikheten eftersom det är ett negativt tal.

Men det behöver du inte heller göra enligt resonemanget jag gav här.

Hur ska svaret vara isf? 
Ska man vara svar så här : e^x + 1 > 0

Svaret är att $e^x+x$ är växande $\forall x \in \mathbb{R}$
Men är du med på varför eller är du fortfarande osäker? jag rekommenderar att du läser igenom tråden igen, och frågar specifikt om det du inte är helt med på.

Vad betyder ”∀x∈ℝ”

$\forall$ betyder "för alla", $\in$ betyder "element i" eller "tillhör" och $\mathbb{R}$ är ju de reella talen, så det som står ovan är helt enkelt att $e^x+x$ är växande för alla x som tillhör de reella talen.

Katarina149 skrev:

Hur ska svaret vara isf? 
Ska man vara svar så här : e^x + 1 > 0

Nej frågan lyder ju "För vilka värden på x är funktionen f(x)=(e^x)+x växande?".

Då måste svaret bli "För alla värden på x".

Förlåt men jag förstår fortfarande inte hur man kan dra slutasatsen att funktionen är växande för alla värden på x

Vilken/vilka av följande punkter fastnar du fortfarande på?

1. Om $f'(x)\geq0$ överallt så är $f(x)$ växande överallt.
2. Eftersom $f(x)=e^x+x$ så gäller att $f'(x)=e^x+1$.
3. Uttrycket $e^x+1$ är alltid större än $0$.
4. Det betyder att $f'(x)>0$ överallt.
5. Det betyder att $f(x)$ är växande överallt.

Från och med steg 4.  f’(x)=e^x + 1 

e^x + 1 > 0

e^x > -1 

Här ifrån blir det stopp i hjärnan. Hur kan slutsatsen dras att funktionen är växande för alla värden på x? 

Katarina149 skrev:

Från och med steg 4.  f’(x)=e^x + 1 

e^x + 1 > 0

e^x > -1 

Här ifrån blir det stopp i hjärnan. Hur kan slutsatsen dras att funktionen är växande för alla värden på x? 

Det är eftersom olikheten alltid är uppfylld, oavsett vilket värde x har.

Se här grafen till $e^x$.

Den ligger alltid ovanför x-axeln, dvs det gäller alltid att $e^x>0$.

Därför gäller det även alltid att $e^x>-1$.

Förlåt för sent svar. Men varför ska e vara större än just -1? Låter det inte ologiskt?

(I det här fallet är det $e^x$ det gäller, inte $e$.)

Det vi har kommit fram till är att om $e^x$ är större än $-1$ överallt så är funktionen växande överallt.

Och $e^x$ är ju större än $-1$ överallt.

Alltså är funktionen växande överallt.