16 svar

1098 visningar

Tompalomp behöver inte mer hjälp

För de komplexa tal z1 och z2

Okej, so..

Jag börjar med att leta rätt på argumenten på talen.

z2 har 30 grader från 180, så 180-30=150 grader. Jag vet också att vinkeln för z1 sitter 90 grader från z2, så

150-90=60 grader.

Då vet jag argumenten för både z1 och z2.

Det är givet att Imaginära talet för z2 är lika med 4i. Om jag lägger ut allt jag vet om z2 i rektangulärform

$z_{2} = a + 4 i$

Argumentet får man genom $\tan (v) = \frac{b}{a}$ och om jag sätter in allt jag vet om z2 kan jag lösa för a

$\tan (150^{°}) = \frac{4}{a} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{a} - \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot a = 4 a = \frac{4}{\frac{- 1}{\sqrt{3}}} a = - 4 \sqrt{3}$

Detta ger

$z_{2} = 4 \sqrt{3} + 4 i$

och i polär form måste vi ta fram absolutbeloppet

$|z_{2}| = \sqrt{{(4 \sqrt{3})}^{2} + {(4)}^{2}} |z_{2}| = \sqrt{48 + 16} |z_{2}| = 8$

Och v i exakt form

$\tan (150^{°}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

detta ger z2 i polär form:

$z_{2} = 8 (\cos (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + i \sin (- \frac{1}{\sqrt{3}}))$

Sen för z1:

Eftersom z2 hade imaginära talet 4i vid 30 grader från reella axeln, så har z1 reella talet 4 vid 30 grader från imaginära axeln.

Och som sagt tidigare har z1 vinkeln 150-90=60 grader. Då får vi i rektangulärform

$z_{1} = 4 + b i$

och kan lösa för b i ekvationen:

$\tan (60^{°}) = \frac{b}{4} \sqrt{3} = \frac{b}{4} b = 4 \sqrt{3}$

Absolutbeloppet för z1 får vi genom:

$|z_{1}| = \sqrt{{(4)}^{2} + {(4 \sqrt{3})}^{2}} |z_{1}| = \sqrt{16 + 48} |z_{1}| = \sqrt{64} |z_{1}| = 8$

Då får vi z1 polär form:

$z_{1} = 8 (\cos \sqrt{3} + i \sin \sqrt{3})$

Ser nu att jag har gjort fel någonstans här. Det står att absolutbeloppet för z1 ska vara lika med 10, men jag fick 8. Så jag har helt klart gjort fel någonstans... Kunde någon hjälpa mig hitta var?

Det är antagandet att a = 4 för z₁ som är fel. Du vet både absolutbeloppet och argumentet för z₁ ...

Är det bara

$z_{1} = 10 (\cos 60^{°} + i \sin 60^{°})$ ?

Och det var ju allt givet i grader och då borde jag svara i grader, så det betyder att

$z_{2} = 8 (\cos 150^{°} + i \sin 150^{°})$

Har jag rätt med de nu?

Du behöver slå upp värdet för sinus- och cosinusvärdena och sätta in dem.

Smaragdalena skrev:
Du behöver slå upp värdet för sinus- och cosinusvärdena och sätta in dem.

men då är mina orginala svar (bortsett från 8 istället för 10 för z1) korrekta?

$z_{1} = 10 (\cos \sqrt{3} - i \sin \sqrt{3}) z_{2} = 8 (\cos (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + i \sin (- \frac{1}{\sqrt{3}}))$

Smaragdalena skrev:
Du behöver slå upp värdet för sinus- och cosinusvärdena och sätta in dem.

Inte på a- och b-uppgiften.

Där ska svaren ges på polär form.

Yngve skrev:
Smaragdalena skrev:
Du behöver slå upp värdet för sinus- och cosinusvärdena och sätta in dem.

Inte på a- och b-uppgiften.

Där ska svaren ges på polär form.

Då var mina orginala svar korrekta eller hur? Det ska svaras på grader? Eller ska det svaras i radianer?

Och ja, för om jag löser ut de blir de ju till z=a+bi form och jag skulle svara i polär form.

Tompalomp skrev:

Då var mina orginala svar korrekta eller hur? Det ska svaras på grader? Eller ska det svaras i radianer?

Nej du tänkte rätt i början men gick vilse på vägen.

Vad menar du t.ex. med $\cos(\sqrt{3})$ ?

Cosinus- och sinusfunktionerna tar vinklar som argument men $\sqrt{3}$ är inte en vinkel (här).

===== Gör istället så här ======

För z₁gäller att argumentet är 60° och att beloppet är 10. Då får vi direkt att z₁ = 10(cos(60°)+i•sin(60°)).

Gör på samma sätt.med z₂.

Oj, förlåt. Trodde jag hade svarat i grader! Och ja, blev lite vilse med $\sqrt{3}$ och sånt. Jag kan förvirra mig själv rätt så hårt med radianer och grader, och med tan och arctan. Blir lite förvirrad och förlårar vad jag höll på med ibland.

Men är detta rätt nu då?

$z_{1} = 10 (\cos (60^{°}) + i \sin (60^{°})) z_{2} = 8 (\cos (150^{°}) + i \sin (150^{°}))$

Tompalomp skrev:
Men är detta rätt nu då?

$z_{1} = 10 (\cos (60^{°}) + i \sin (60^{°})) z_{2} = 8 (\cos (150^{°}) + i \sin (150^{°}))$

Ja det är rätt.

Men ett enklare sätt att komma fram till |z₂| är genom sambandet sin(30°) = 4/|z₂|

är det lättare? det ser svårare ut än vad jag gjorde! :P

just det, c upgiften också om ni kunde bara berätta om jag har gjort rätt!

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos (v_{1} - v_{2}) + i \sin (v_{1} - v_{2})) = \frac{10}{8} (\cos (60^{°} - 150^{°}) + i \sin (60^{°} - 150^{°})) = \frac{5}{4} (\cos (- 90^{°}) + i \sin (- 90^{°})) = \frac{5}{4} (\cos (270^{°}) + i \sin (270^{°})) = \frac{5}{4} ((0) + i (- 1)) = - \frac{5 i}{4}$

Är detta rätt?

Tompalomp skrev:
är det lättare? det ser svårare ut än vad jag gjorde! :P

Beloppet vi söker,dvs |z₂|, fås då direkt genom |z₂| = 4/sin(30°).

Jag tycker det är enklare, men det är ju inte samma för alla.

Tompalomp skrev:
just det, c upgiften också om ni kunde bara berätta om jag har gjort rätt!

Är detta rätt?

Ja, det är rätt.

Hej Tompalomp, skulle du kunna förklara hur du tänkte på b) frågan? Absolutbeloppet förstår jag inte riktigt varför du beräknade som du gjorde. Tacksam för förklaring.

Svara

Visa senaste svar