Flux integral (2)

I första integreringen verkar du byta bokstav i sista sinuset.

Nej? Det är $\theta$ och $\phi$ på alla sinus.

Hej,

Misstag: Radien $r$ ska gå från $0$ till $a$, inte från $-a$ till $a.$

Det är mycket viktigt att skriva integrationsområdet för att undvika förvirring:

    $0<r<a$ och $0<\phi < \pi$ samt $0<\theta < 2\pi.$

På grund av den sfäriska symmetrin är 

    $\displaystyle \int_{V}x\,dV = \int_{V} y\,dV$

och det gäller att $\int_{V}1\,dV = V$ vilket gör att integralen kan skrivas 

    $\displaystyle V+4\int_{V}x\,dV = \frac{4\pi a^3}{3} + 4\int_{V} x\,dV$

där sfärens volym är $\frac{4\pi a^3}{3}.$ 

    $\displaystyle\int_{V}x\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\phi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{a} r\sin \phi \cos \theta \, r^2\sin\phi dr d\phi d\theta = \underbrace{\left\{\int_{\theta=0}^{2\pi}\cos \theta \,d\theta\right\}}_{=0}\cdot \int_{\phi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{a} r\sin \phi \, r^2\sin\phi dr d\phi = 0.$

Tack Micimacko och Albiki.

Albiki. Jag förstår tyvärr inte det där med symmetrin.

Jag infogar en ny lösning. Jag  får fel svar igen :(((( Vad gör jag för fel?

Du verkar tro att $\sin 2\pi - \sin 0 = 1$ och att $\cos 0 - \cos 2\pi = 1$ när differenserna i själva verket är noll.

Integralen som är kvar blir $\frac{8\pi a^3}{6}$ som ju är samma sak som sfärens volym.

Hej Albiki. Som du ser i bilden. tredje termen i rad 4 kommer från andra termen i rad 3 då jag stoppar in 0 i $cos \theta$. Så jag har tänkt rätt tror jag!

Tänk ett varv till ;)

När du stoppar in 0 eller 2pi i sin/cos så får du ut samma svar, eller hur? Och integralen räknas ut övre gräns-undre gräns. Om övre och undre gräns är samma, hur kan du få något kvar?

Men andra termen i tredje raden blir: 

$-\frac{a^{4}}{2}sin^2\phi cos 2\pi -( -\frac{a^{4}}{2}sin^2\phi cos 0)$ 

Då blir det något kvar pga minustecknet...

Har löst den.  Det var huvudräkningen som ställde till det. Precis som Micimacko skrev :)