Flux

Termerna $2xy^3$ och $5x^3y$ bidrar med noll till integralen pga symmetri

Kvar blir

$\displaystyle \iint_S 3x^2 \mathrm{d}S=...$

Ett enklare sätt att beräkna flödet genom mantelytan är att använda Gauss sats.

Divergensen av fältet är $\mathbf{\nabla}\cdot \mathbf{F}=3$ och flödet ut genom locket är exakt lika stort fast motriktat flödet ut genom botten eftersom normalerna $\hat{z}=\{0,0,1\}$ och $-\hat{z}=\{0,0,-1\}$ plockar ut z komponenten av $\mathbf{F}$ över exakt samma yta i xy-planet.

Volymen av cylindern är $\pi$ och vi inser därför att flödet genom mantelytan måste vara...?

$I+\iint F·(0,0,-1) dS+\iint F·(0,0,1) dS=\iiint \nabla ·F dxdydz=\iiint 3 dxdydz$

$3\iint \left({\int }_3^{4}dz\right)dxdy=3\iint dxdy=3·arean=3\pi$

Hoppas jag har tänkt rätt!

Ja du verkar ha tänkt rätt  du har fått rätt svar även om du bör vara lite mer "formell" i din redovisning, just nu är det lite svårt att förstå vilka ytor/volymer som ingår, varför villkoren för Gauss sats är uppfyllda osv.

Framförallt i din direktuträkning tycker jag det känns lite flummigt.

Mitt försök för att göra det mer formellt, men då är jag fast igen... Hur ska jag beräkna ${\iint }_{D1}y\ln (5+x)dxdy$ integralerna?

Finns det något sätt att se att dessa dubbel integraler blir 0?