flödet, sfär

Hej, nu snurrar det rejält.

Vi har vektorfält, F=xi+yj+zk och vi ska hitta flödet ut från $x^2+y^2+z^2=a^2$

säg att

$$\begin{gathered} f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2 <=> \nabla f\hspace{0.17em}= 2x\mathit{i}+2y\mathit{i}+2z\mathit{k}\mathbf{=}\mathit{N} \\ \hat{\mathbf{N}}\mathbf{=}\mathit{N}\mathbf{*}\frac{\mathbf{1}}{||N||}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{z}}^{\mathbf{2}}}}\mathit{N}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}\mathbf{a}}\mathit{N}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{a}}\mathbf{(}\mathit{x}\mathit{i}\mathbf{+}\mathit{y}\mathit{j}\mathbf{+}\mathit{z}\mathit{k}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{>}\mathbf{0} \end{gathered}$$

Formel: $$\begin{gathered} {∯}_S\mathit{F}\mathbf{·}\hat{\mathbf{N}}\mathit{d}\mathit{S}\mathbf{=}\frac{1}{\mathrm{a}}{\mathbf{∯}}_{\mathbf{S}}\mathbf{(}{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2)\mathrm{dS}=\mathrm{a}{\mathbf{∯}}_{\mathbf{S}}\mathrm{dS}. \mathrm{ty} {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2={\mathrm{a}}^2 \\ \mathrm{genom} \mathrm{sfäriska} \mathrm{koordinater};\hspace{0.17em} \\ \mathrm{x}=\mathrm{asin\Phi cos\theta } \\ \mathrm{y}=\mathrm{asin\Phi sin\theta } \\ \mathrm{z} =\mathrm{acos\Phi } \\ \mathrm{dS}={\mathrm{a}}^2\mathrm{sin\Phi } \\ \mathrm{a}{\mathbf{∯}}_{\mathbf{S}}\mathrm{dS}={\mathrm{a}}^3{\int }_0^{2\mathrm{pi}}\mathrm{sin\Phi d\Phi }{\int }_0^{\mathrm{pi}/2}\mathrm{d\theta }=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{2}{\int }_0^{2\mathrm{pi}}\mathrm{sin\Phi d\Phi }=\frac{{\mathrm{\pi a}}^3}{2}. \mathrm{Svaret} \mathrm{är} 4{\mathrm{\pi a}}^3 \end{gathered}$$