Flödesriktningen för nollisokliner!

Uppgift där jag har svårt att förstå hur vi ska rita ut flödet för nollisoklinerna;

https://imgur.com/a/GQLmElV

Det jag markerat med röd färg är det jag har svårt för. Jag hänger med allt ända fram till dess... Jag har fått för mig att ett enkelt sätt veta vilken riktning, ex. säg för x:s nollisoklin, som vi vet är vertikala flödesriktningar, är att kolla på det ursprungliga uttrycket (det som är inringat med svart färg), och fråga sig själv, "när är hela detta uttryck positivt?" och om vi då kollar på för x:s tidsderivata ser vi att vi har 4(1-x)y-2x och då ställer jag mig den frågan, och blir något förvirrad... (vet inte ens om det går att applicera det tänket på det här fallet o i vilka fall överhuvudtaget...). Spontant tänker jag att det är när 4(1-x)y är större än -2x eller mer specifikt, att x är mindre än 1 (annars får vi en negativ parentes som gör att hela uttrycket blir negativt..

SÅ tänker jag. Men det blir ju inte riktigt rätt. hela y axeln är ju mindre än 1... då hade jag bara ritat ut vertikala linjer som pekat uppåt längs hela den röd-streckade linjen. De har i lösningen inte alls tänkt så. Varför?

Tacksam för all form av hjälp!

Hej,

Koncentrationerna hos två proteiner A och B förändras över tiden enligt funktionerna $x(t)$ respektive $y(t)$ som bestäms av ett system av kopplade differentialekvationer.

$\begin{matrix}x'(t)\\y'(t)\end{matrix} = \begin{matrix}4\{1-x(t)\}\cdot y(t)-2x(t)\\4x^2(t)\{1-y(t)\}-y(t)\end{matrix}.$

Koncentrationen av protein A förändras inte om koncentrationerna $x(t)$ och $y(t)$ ligger på den röda isoklinen:

$x(t) = 2y(t)\cdot\{1-x(t)\}\iff x(t)=\frac{2y(t)}{1+2y(t)}\iff y(t)=\frac{0.5x(t)}{1-x(t)}.$

Koncentrationen av protein B förändras inte om koncentrationerna $x(t)$ och $y(t)$ ligger på den gröna isoklinen:

$y(t)=4x^2(t)\{1-y(t)\}\iff y(t)=\frac{4x^2(t)}{1+4x^2(t)}=1-\frac{1}{1+4x^2(t)}.$

Albiki skrev:
Hej,
Koncentrationerna hos två proteiner A och B förändras över tiden enligt funktionerna $x(t)$ respektive $y(t)$ som bestäms av ett system av kopplade differentialekvationer.
$\begin{matrix}x'(t)\\y'(t)\end{matrix} = \begin{matrix}4\{1-x(t)\}\cdot y(t)-2x(t)\\4x^2(t)\{1-y(t)\}-y(t)\end{matrix}.$
Koncentrationen av protein A förändras inte om koncentrationerna $x(t)$ och $y(t)$ är sådana att $x(t) = 2y(t)\cdot\{1-x(t)\}\iff x(t)=\frac{2y(t)}{1+2y(t)}\iff y(t)=\frac{0.5x(t)}{1-x(t)}.$
Koncentrationen av protein B förändras inte om koncentrationerna $x(t)$ och $y(t)$ är sådana att $y(t)=4x^2(t)\{1-y(t)\}\iff y(t)=\frac{4x^2(t)}{1+4x^2(t)}=1-\frac{1}{1+4x^2(t)}.$

Känner mig lite dum nu, men förstår inte alls hur ditt svar ska få mig att förstå riktningen på flödet... vad i de uppställda uttrycken kollar du på för att ta reda på flödet?

Protein A bildas (derivatan $x'(t) > 0$ ) precis då koncentrationerna är sådana att punkten $(x(t),y(t))$ ligger över den röda isoklinen; då är $y(t) > \frac{0.5x(t)}{1-x(t)}$ .
Protein B bildas (derivatan $y'(t) > 0$ ) precis då koncentrationerna är sådana att punkten $(x(t),y(t))$ ligger under den gröna isoklinen; då är $y(t) < 1-\frac{1}{1+4x^2(t)}.$

Du har fyra områden:

(Röd,Grön)=(Under,Under): Protein A förstörs och protein B bildas.
(Röd,Grön)=(Under,Över): Protein A förstörs och protein B förstörs.
(Röd,Grön)=(Över,Under): Protein A bildas och protein B bildas.
(Röd,Grön)=(Över,Över): Protein A bildas och protein B förstörs.

Figuren visar att det är mest troligt att finna de kemiska reaktionerna i ett tillstånd där protein A bildas och protein B förstörs, eftersom detta område har större area i fasporträttet.
Det är nästan lika troligt att reaktionerna befinner sig i ett tillstånd där protein A förstörs och protein B bildas.
Det är mindre troligt att reaktionerna befinner sig i ett tillstånd där båda proteiner förstörs eller båda proteiner bildas.

Svara

Visa senaste svar