Flödesintegralens definition

Normalen till locket $n_1$ pekar åt motsatt håll jämfört med $n_2$

Normalen $n_3$ pekar ut från mantelytan i radiell led $\hat{r}$. Normalen till mantelytan pekar alltså hela tiden ut från cylindern och är vinkelrät mot ytan. Det betyder att den har olika riktning beroende var på ytan du är.

För att räkna ut normalen kan du parametrisera mantelytan i en vinkel och en z-koordinat.

$\mathbf{r}(\varphi, z)=(\cos(\varphi), \sin(\varphi), z)$

Då blir normalen $\mathbf{r}^'_\varphi \times \mathbf{r}^'_z$

Ett lite enklare sätt är att inse att den alltid pekar i radiell led $\hat{r}$, vilket innebär

$\mathbf{\hat{n}}_3=(\cos(\theta), \sin(\theta),0)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y,0)$

I just det här fallet är $x^2+y^2=1$ varför

$\mathbf{\hat{n}}_3=(x,y,0)$

Hej, och tack för din svar, jag vet inte hur i lösningen beräknas normalen n3, eftersom om vi ser på området som grafen på en funktion f(x,y)=(x^2+y^2). Och använder formelen i bilden, så får jag N=(-2x,-2y,1) och inte (x,y,0). Så hur beräknar vi denna normalen 

Du kan inte använda standardparametriseringen $z=f(x,y)$ för mantelytan.

Mantelytan kan du parametrisera i cylinderkoordinater

$x=\rho\cos(\varphi)$

$y=\rho\sin(\varphi)$

$z=z'$

För mantelytan gäller att $\rho^2=x^2+y^2=1$, $0<z<1$. En parameterframställning för mantelytan är därför

$\mathbf{r}(\varphi, z)=(\cos(\varphi), \sin(\varphi), z)$ där $0<\varphi<2\pi$ och $0<z<1$.

$\mathbf{n}_3=\mathbf{r}^'_\varphi \times \mathbf{r}^'_z=(\cos(\varphi), \sin(\varphi),0)$

Vilket är samma sak som (x,y,0) då $x^2+y^2=1$.

hej, tack så mycket, så du menar att eftersom radien för cirkelen är lika med ett, är x=1*cos(φ), och y=1*sin(φ)

suad skrev:

hej, tack så mycket, så du menar att eftersom radien för cirkelen är lika med ett, är x=1*cos(φ), och y=1*sin(φ)

Ja, just det.

tack så mycket, det var till stor hjälp