Flödesintegral, Flervarre

Jag är inte helt säker på vad som menas med "bort från z-axeln", jag tror det har att göra med riktningen normalen och normalen då ska (positivt?) riktning eller är det z som har positiv riktning?

En annan fråga jag har är om man kan skriva om cylinderytan på något sätt eller om helt enkelt kan skriva normalen som (-fx,-fy,1)=(2x,2y,1).

$(x, y, z) \cdot (2 x, 2 y, 1) = 2 x^{2} + 2 y^{2} + z$

Men vad blir då integrationsgränserna? Jag misstänker antingen går man över till cylinderkoordinater eller så känner vi till att cirkelns area ges av $r^{2} \cdot π$ och multiplicerar detta med integranden. men vi vet ju inte värdena på x,y eller z?

Är du med på att ytan är en cylinder som är centrerad runt z-axeln (prova att skriva in ekvationen i wolfram alpha om du inte är med på hur det ser ut)? Så det kan ju vara lämpligt att gå över till cylindiska koordinater, r, theta och z. Och normalvektorn för ytan är då r^ (alltså r-riktningen), eftersom det är flödet bort från z-axeln (hade det varit mot z-axeln hade det varit -r^ som varit enhetsvektorn)

Hondel skrev:
Är du med på att ytan är en cylinder som är centrerad runt z-axeln (prova att skriva in ekvationen i wolfram alpha om du inte är med på hur det ser ut)? Så det kan ju vara lämpligt att gå över till cylindiska koordinater, r, theta och z. Och normalvektorn för ytan är då r^ (alltså r-riktningen), eftersom det är flödet bort från z-axeln (hade det varit mot z-axeln hade det varit -r^ som varit enhetsvektorn)

Ja, men det säger ju fortfarande inte någonting om intervallet för z?

Går vi över till cylinderkoordinater får vi: $0 \leq r \leq 2 0 \leq θ \geq 2 π ? \geq z \geq ?$

Men stämmer detta att man kan sätta:

$r (θ, z) = (\cos (θ), \sin (θ), z) r_{z} = (0, 0, 1) r_{θ} = (- \sin (θ), \cos (θ), 0) r_{θ} \times r_{z} = (\cos (θ), \sin (θ), 0)$

$\iint (\cos (θ), \sin (θ), z) \cdot (\cos (θ), \sin (θ), 0) = \iint 1 d z d θ = 2 π \cdot \int_{?}^{?} 1 d z$

Men då återstår ju som sagt gränsen för z???

Svara