11 svar
332 visningar
migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 00:41 Redigerad: 15 maj 2020 00:47

Flödesintegral

Frågan lyder:

Är förvirrad hur jag ska gå tillväga, är det så att man kan täppa igen paraboloiden genom att sätta två lock där

z=24 och z=48 för att sedan använda Divergenssatsen? Gränserna säger dock att 24<z<48...

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 05:51 Redigerad: 15 maj 2020 05:56

divF=F=0div\vec{F}=\nabla\circ\vec{F}=0, här har jag använt två plan för att täppa till sluten yta även om gränserna är 24<z<4824<z<48, skulle uppskatta väldigt mycket om jag kunde få bekräftelse om man kan göra så.

AlvinB 4014
Postad: 15 maj 2020 08:51 Redigerad: 15 maj 2020 08:52

Ja, det går bra att använda två plan för att täppa till ytan som du gjort. (Skillnaden mellan 24<z<4824<z<48 och 24z4824\leq z\leq48 är oväsentlig i en sådan här integralberäkning).

Det enda jag kan anmärka på är skrivsättet du använder på nedersta raden. I den första har du skalärproduktsprick (?) mellan en skalär (1/(3x2+2y2)1/(3x^2+2y^2)) och en vektor ([0  0  -1]T)[0\ \ 0\ \ -1]^T). I den andra har du ingen skalärproduktsprick, och då blir väl integranden en vektor istället för en skalär, som den borde vara?

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 10:00 Redigerad: 15 maj 2020 10:18

Såhär har jag tänkt:

Planets enhetsnormal till det första planet π1:N^=(0,0,-1)\pi_1\colon \hat{N}=(0,0,-1) pekar nedåt, medan det andra uppåt π2:N^=(0,0,1)\pi_2\colon \hat{N}=(0,0,1). I uppgiften säger dem att N^\hat{N} är den inåtriktade enhetsnormalen till ytan S, innan jag går vidare med beräkningen är detta något man behöver tänka på? (Har noterat det som (-N^)(-\hat{N}) i den allra första integralen)

 

Med det i åtanke, ska det istället stå, -SFN^dS=-π1FN^dS-π2FN^dS-\iint_{S} \mathbf{F} \circ \widehat{\mathbf{N}} d S=-\iint_{\pi_{1}} \mathbf{F} \circ \widehat{\mathbf{N}} d S-\iint_{\pi_{2}} \mathbf{F} \circ \widehat{\mathbf{N}} d S?

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 15:01 Redigerad: 15 maj 2020 15:03
AlvinB skrev:

(Skillnaden mellan 24<z<4824<z<48 och 24z4824\leq z\leq48 är oväsentlig i en sådan här integralberäkning).

Du får gärna förklara varför det är oväsentlig, vill vara matematisk korrekt och som jag nu ser är gränserna:

med villkoret 24<z<48

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 15 maj 2020 16:14
migai skrev:
AlvinB skrev:

(Skillnaden mellan 24<z<4824<z<48 och 24z4824\leq z\leq48 är oväsentlig i en sådan här integralberäkning).

Du får gärna förklara varför det är oväsentlig, vill vara matematisk korrekt och som jag nu ser är gränserna:

med villkoret 24<z<48

Arean av en rektangel vars ena sida är 0 har värdet 0.

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 16:38 Redigerad: 15 maj 2020 16:39

Divergenssatsen går bara att använda på slutna ytor, men ytan S är strikt 24<z<48. Hur kan jag då garantera att Γ\Gamma blir sluten om jag sätter på två lock där, z=24 och z=48 ? Kommer det inte att finnas ett väldigt litet mellanrum?

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 18:34

Jag hamnar också i problem när jag ska beräkna integralen, 0241rdr då denna ej konvergerar...

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 20:22

Vilka villkor (på fältet och området) måste vara uppfyllda för att man ska få använda Gauss sats?

Hur ser fältet F\mathbf{F} ut utmed z-axeln (x=0, y=0)?

-------------------------------------------------------------------------------

Det är ganska enkelt att parametrisera mantelytan S och det ger en relativt enkel integral.

r(u,θ)=u3cos(θ)u2sin(θ)u\mathbf{r}(u,\theta)=\left(\begin{array}{cc} \sqrt{\frac{u}{3}}\cos(\theta)\\ \sqrt{\frac{u}{2}} \sin(\theta)\\u \end{array}\right)

dS=ru×rθ=-u2cos(θ),-u3sin(θ),126dudθ\displaystyle d\mathbf{S}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=\left(-\sqrt{\frac{u}{2}}\cos(\theta), -\sqrt{\frac{u}{3}}\sin(\theta), \frac{1}{2\sqrt{6}}\right)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}\theta

SF(r)·dS=126u=2448θ=02π1ududθ=πln(2)6\displaystyle \iint_S\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\int_{u=24}^{48}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{1}{u}\, \mathrm{d}u\mathrm{d}\theta=\frac{\pi\ln(2)}{\sqrt{6}}

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 20:31
Jroth skrev:

Vilka villkor (på fältet och området) måste vara uppfyllda för att man ska få använda Gauss sats?

Hur ser fältet F\mathbf{F} ut utmed z-axeln (x=0, y=0)?

-------------------------------------------------------------------------------

Det är ganska enkelt att parametrisera mantelytan S och det ger en relativt enkel integral.

r(u,θ)=u3cos(θ)u2sin(θ)u\mathbf{r}(u,\theta)=\left(\begin{array}{cc} \sqrt{\frac{u}{3}}\cos(\theta)\\ \sqrt{\frac{u}{2}} \sin(\theta)\\u \end{array}\right)

dS=ru×rθ=-u2cos(θ),-u3sin(θ),126dudθ\displaystyle d\mathbf{S}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=\left(-\sqrt{\frac{u}{2}}\cos(\theta), -\sqrt{\frac{u}{3}}\sin(\theta), \frac{1}{2\sqrt{6}}\right)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}\theta

SF(r)·dS=126u=2448θ=02π1ududθ=πln(2)6\displaystyle \iint_S\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\int_{u=24}^{48}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{1}{u}\, \mathrm{d}u\mathrm{d}\theta=\frac{\pi\ln(2)}{\sqrt{6}}

Om Gauss Sats ska användas måste vi kontrollera att F\vec{F} är kontinuerliga och har kontinuerliga partiella derivator. Jag antar att fältet har en singulärpunkt vid x=0, y=0 och därmed kan Gauss sats inte användas?

migai 33 – Fd. Medlem
Postad: 15 maj 2020 23:18
Jroth skrev:

Det är ganska enkelt att parametrisera mantelytan S och det ger en relativt enkel integral.

r(u,θ)=u3cos(θ)u2sin(θ)u\mathbf{r}(u,\theta)=\left(\begin{array}{cc} \sqrt{\frac{u}{3}}\cos(\theta)\\ \sqrt{\frac{u}{2}} \sin(\theta)\\u \end{array}\right)

dS=ru×rθ=-u2cos(θ),-u3sin(θ),126dudθ\displaystyle d\mathbf{S}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}=\left(-\sqrt{\frac{u}{2}}\cos(\theta), -\sqrt{\frac{u}{3}}\sin(\theta), \frac{1}{2\sqrt{6}}\right)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}\theta

SF(r)·dS=126u=2448θ=02π1ududθ=πln(2)6\displaystyle \iint_S\mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{2\sqrt{6}}\int_{u=24}^{48}\int_{\theta=0}^{2\pi}\frac{1}{u}\, \mathrm{d}u\mathrm{d}\theta=\frac{\pi\ln(2)}{\sqrt{6}}

Det var snyggt löst! Med enhetsnormalen inåtriktad blir hela uttrycket negativt istället då kryssprodukten definieras som negativt?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 16 maj 2020 00:12 Redigerad: 16 maj 2020 00:13

Nej, dS\mathrm{d}\mathbf{S} har en positiv z-komponent vilket betyder att den pekar lite uppåt (in mot) det växande taket, Hade pilen varit på "utsidan" av ytan hade den pekat nedåt (haft negativ z-komponent).

Svara
Close