Flödesintegral

Du behöver räkna flödet genom två sfäriska begränsningsytor: den inre och den yttre. Tänk på att det är ytintegraler. Tänk också på normalriktningarna.

På den yttre ytan så är $\hat{n}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{\overrightarrow{r}}{\sqrt{3}}$.

Vektorfältet på den yttre ytan är $\frac{\overrightarrow{r}}{r^2}=\frac{\overrightarrow{r}}{3}$.

Flödet genom den yttre ytan blir

$\underset{yttre}{∯}\frac{\overrightarrow{r}}{3}\bullet \frac{\overrightarrow{r}}{\sqrt{3}}dS=\underset{yttre}{∯}\frac{\overrightarrow{r}\bullet \overrightarrow{r}}{3\sqrt{3}}dS=\underset{yttre}{∯}\frac{3}{3\sqrt{3}}dS=\frac{1}{\sqrt{3}}\underset{yttre}{∯}dS=\frac{1}{\sqrt{3}}Arean=\frac{1}{\sqrt{3}}4\mathrm{\pi }{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4\mathrm{\pi }\sqrt{3}$.

Sedan har du att bestämma flödet genom den inre ytan. Här får du tänka igenom vilken normal som du skall använda.

Alternativt kan du använda Gauss sats.

PATENTERAMERA skrev:

Du behöver räkna flödet genom två sfäriska begränsningsytor: den inre och den yttre. Tänk på att det är ytintegraler. Tänk också på normalriktningarna.

På den yttre ytan så är $\hat{n}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}=\frac{\overrightarrow{r}}{\sqrt{3}}$.

Vektorfältet på den yttre ytan är $\frac{\overrightarrow{r}}{r^2}=\frac{\overrightarrow{r}}{3}$.

Flödet genom den yttre ytan blir

$\underset{yttre}{∯}\frac{\overrightarrow{r}}{3}\bullet \frac{\overrightarrow{r}}{\sqrt{3}}dS=\underset{yttre}{∯}\frac{\overrightarrow{r}\bullet \overrightarrow{r}}{3\sqrt{3}}dS=\underset{yttre}{∯}\frac{3}{3\sqrt{3}}dS=\frac{1}{\sqrt{3}}\underset{yttre}{∯}dS=\frac{1}{\sqrt{3}}Arean=\frac{1}{\sqrt{3}}4\mathrm{\pi }{\left(\sqrt{3}\right)}^2=4\mathrm{\pi }\sqrt{3}$.

Sedan har du att bestämma flödet genom den inre ytan. Här får du tänka igenom vilken normal som du skall använda.

Alternativt kan du använda Gauss sats.

Tack så mycket!!

Men man kan alltså inte räkna ut flödet från K direkt? Som jag försökte

Om du vill räkna ut flödet med en volymsintegral så måste du använda Gauss sats. Men då skall du integrera divF över K.

Flödet ut ur K = $\underset{K}{\iiint }\nabla ·\overrightarrow{F}dV=\underset{K}{\iiint }\frac{dV}{r^2}$.

PATENTERAMERA skrev:

Om du vill räkna ut flödet med en volymsintegral så måste du använda Gauss sats. Men då skall du integrera divF över K.

Flödet ut ur K = $\underset{K}{\iiint }\nabla ·\overrightarrow{F}dV=\underset{K}{\iiint }\frac{dV}{r^2}$.

Yes okej tack. Dock undrar jag över varför man ska beräkna flödet genom de båda begränsningsytorna? Eller alltså hur vet man att det blir rätt, eller att det inte räcker med en av ytorna etc?

Det står ut från området K. Eftersom K har två begränsningsytor (som det kan flöda genom) så måste man ta med båda. Eller hur?

PATENTERAMERA skrev:

Det står ut från området K. Eftersom K har två begränsningsytor (som det kan flöda genom) så måste man ta med båda. Eller hur?

Aa juste. Men normalen från det yttre områden pekar utåt? Och normalen från det inre pekar inåt mot origo?

Maja9999 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Det står ut från området K. Eftersom K har två begränsningsytor (som det kan flöda genom) så måste man ta med båda. Eller hur?

Aa juste. Men normalen från det yttre områden pekar utåt? Och normalen från det inre pekar inåt mot origo?

Ja, fast båda pekar ut från området K.