Flödesintegral

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Börja alltså med att rita upp paraboloiden $z=x^2+y^2$ för $z\le1$.

De menar rimligen att vektorfältet är $\mathbf{A}(x,y,z)=(x+y+z, 0,0)$.

Smaragdalena ger dig goda råd, hur ser ytan ut? Vad kan vara en lämplig parametrisering av ytan? Det är ju t.ex. bekvämt att vi redan har z-koordinaten som en funktion av x och y :)

Kan du få fram en normal till ytan? Som dessutom pekar åt rätt håll (se uppgiftstexten)

Normalytintegralen parametriserad av r(u,v) ges av

$\displaystyle \int_S \mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}=\iint_D \mathbf{A}[\mathbf{r}(u,v)] \cdot (\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v})dudv$

Notera att du eventuellt måste byta tecken på kryssprodukten om riktningen omkastas för den positiva enhetsnormalen.

Ett annat elegant sätt att lösa den här uppgiften är Gauss sats tillsammans med en transformation.