Flödesintegral

Hur pekar ytans normal? Förenkla skalärprodukten. 

Jag får att $\displaystyle F= \frac{1}{\sqrt{r}}$

Tillägg: 27 sep 2021 20:49

Obs. Fick annat

n = r/|r|

F•n = ...

Integralen kan sedan lösas utan att dra in kartesiska koordinater. 

Annars kan du använda Gauss sats. 

Tillägg: 27 sep 2021 21:31

Och det där med Gauss sats funkar inte så bra, då man ändå måste räkna ut flödet genom en sfär direkt (all divergens finns i origo).

Har jag gjort rätt?

Ja, det är rätt, men det blir en massa extrajobb med att dra in ett koordinatsystem!

Är du med på att

n = r/|r|

?

F•n kan då förenklas och får ett enkelt värde på sfären. 

Jag förstår inte hur jag ska förenkla det sen. Hur blir det enklare?? Kan du resultat av skalärprodukten?

$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\dfrac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\cdot\dfrac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}=\dfrac{|\mathbf{r}|^2}{|\mathbf{r}|^4}=\ldots$

Hur får du det till absolutbelopp i täljaren???

$\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}=|\mathbf{r}|^2$

Skalärprodukten av r med sig själv. 

Vad gör jag sen? Jag får

$\iint_V \frac{1}{x+y+z} \,dx\,dy$

Jag tänker parametrisera. Men vet inte hur då jag har en sfär...

Det är inte helt rätt, och det är lättare än vad du tror!

Titta på det igen och säg till om du kör fast. 

Vilket värde har 1/|r|² på sfären?

Dr. G skrev:

Det är inte helt rätt, och det är lättare än vad du tror!

Titta på det igen och säg till om du kör fast. 

Vilket värde har 1/|r|² på sfären?

$\frac{1}{R^{2}}$? 

Tillägg: 27 sep 2021 22:30

Och area är $4\pi R^{2}$ så svaret blir $4\pi$.

Yes, en konstant som kan flyttas ut ur integralen. 

Tillägg: 27 sep 2021 22:33

Precis, $4\pi$!