Flödeshastigheten i en kanal (Matematik/Matte 5)

Flöde har jag inte alls studerat, men jag tycker det ser ut som om man betraktar skikt av vatten på samma djup och antar att flödeshastigheten är en linjär funktion av det horisontella avståndet till kanalens vägg, och sedan integrerar över hela bredden. Beteckningarna är förvirrande, t.ex. används b både som beteckning för bredden och ena delen av formen på den tredje kanalen. Jag tycker det verkar som om "djupet" i själva verket är höjden från botten. Rent beräkningsmässigt ser jag hur man får de numeriska resultaten.

Fysikaliskt är jag inte kompetent att säga nåt, men det känns konstigt att botten inte verkar sakta ner flödet när väggarna gör det. Om trycket borde spela in eller inte vet jag inte heller.

Är det en berättare också? Jag fick bara en förenklad version med några bilder.

Som matteuppgift betraktad borde den kunna platsa i Matte 3, men den fysikaliska bakgrunden känns som universitetsnivå, eller kanske någon teknisk gymnasielinje. Vad läser du?

Hej, jag läser matte 5. Lyckades hitta själva uppgiften på nätet (se bild) men förstår fortfarande inte vad hur han har löst den.

Till att börja med är flödet och alla tre kanaler symmetriska i kanalens mitt. Det gör att du kan beräkna flödet för halva kanalen och sedan multiplicera med två i alla tre fall.

Vad du får göra är sedan att ställa upp en funktion, säg $v(x)$ där $x$ är avståndet från kanten för flödeshastigheten och en funktion för $h(x)$ för kanalens djup $x$ meter från kanten. Då kommer flödet att vara:

$2\displaystyle\int_0^3 v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx$

eftersom vi tar alla små areasegment ( $h\left(x\right)\cdot dx$ ) och multiplicerar med vad flödeshastigheten är just där, vilket går mot en integral när vi tar mindre och mindre segment. Vi integrerar över halva kanalens bredd ( $0-3\ \text{m}$ ) och dubblerar sedan för att få hela kanalens flödeshastighet.

AlvinB skrev:
Till att börja med är flödet och alla tre kanaler symmetriska i kanalens mitt. Det gör att du kan beräkna flödet för halva kanalen och sedan multiplicera med två i alla tre fall.
Vad du får göra är sedan att ställa upp en funktion, säg $v(x)$ där $x$ är avståndet från kanten för flödeshastigheten och en funktion för $h(x)$ för kanalens djup $x$ meter från kanten. Då kommer flödet att vara:
$2\displaystyle\int_0^3 v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx$
eftersom vi tar alla små areasegment ( $h\left(x\right)\cdot dx$ ) och multiplicerar med vad flödeshastigheten är just där, vilket går mot en integral när vi tar mindre och mindre segment. Vi integrerar över halva kanalens bredd ( $0-3\ \text{m}$ ) och dubblerar sedan för att få hela kanalens flödeshastighet.

Hej, tack för ditt svar. Har lyckats lösa för rektangel och triangeln (se bild) men det jag inte riktigt förstår är hur/varför hastighetsfunktionen är konstant och hur jag får ut enheten i kubikmeter / sekund. Förstår inte heller hur jag ska lösa paralleltrapetsen då jag inte vet vad höjdens funktion av bredden är i ”triangel-delarna”. Tacksam för hjälp! :)

Vad menar du med att hastighetsfunktionen är konstant? Du har ju tagit fram att den är linjär? (vilket stämmer)

Anledningen till att vi får enheten $\text{m}^3/\text{s}$ är att när man integrerar får man samma enhet som om man multiplicerar integranden med integrationsvariabeln (en integral är ju samma sak som att multiplicera, det är bara att man gör det i oändligt små remsor för att ta hänsyn till att funktionen inte är konstant). I detta fall har $v(x)$ enheten $\text{m/s}$ , $h(x)$ enheten $\text{m}$ och $x$ (integrationsvariabeln) enheten $\text{m}$ . Det gör att vi får enheten:

$\text{m/s}\cdot\text{m}\cdot\text{m}=\text{m}^3/\text{s}$

Notera att bara för att enheterna stämmer betyder det inte nödvändigtvis att vi gjort rätt, men det är ett bra tecken.

För att beräkna parallelltrapetsets flöde måste vi inse att vi behöver dela upp funktionen $h(x)$ i två. En när djupet minskar (mellan 0 och 2 meter från kanten) och en när djupet är konstant (mellan 2 och 3) meter från kanten. För parallelltrapetsets flöde får vi då:

$\displaystyle\int_0^3v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx=\int_0^2v\left(x\right)h_1\left(x\right)\ dx+\int_2^3v\left(x\right)h_2\left(x\right)\ dx$

Där $h_2(x)=3$ (eftersom djupet då är konstant 3 meter). Vad får du då att $h_1(x)$ blir? Ett tips är att tänka att du vet att $h_1(0)=0$ och $h_1(2)=3$ .

AlvinB skrev:
Vad menar du med att hastighetsfunktionen är konstant? Du har ju tagit fram att den är linjär? (vilket stämmer)
Anledningen till att vi får enheten $\text{m}^3/\text{s}$ är att när man integrerar får man samma enhet som om man multiplicerar integranden med integrationsvariabeln (en integral är ju samma sak som att multiplicera, det är bara att man gör det i oändligt små remsor för att ta hänsyn till att funktionen inte är konstant). I detta fall har $v(x)$ enheten $\text{m/s}$ , $h(x)$ enheten $\text{m}$ och $x$ (integrationsvariabeln) enheten $\text{m}$ . Det gör att vi får enheten:
$\text{m/s}\cdot\text{m}\cdot\text{m}=\text{m}^3/\text{s}$
Notera att bara för att enheterna stämmer betyder det inte nödvändigtvis att vi gjort rätt, men det är ett bra tecken.
För att beräkna parallelltrapetsets flöde måste vi inse att vi behöver dela upp funktionen $h(x)$ i två. En när djupet minskar (mellan 0 och 2 meter från kanten) och en när djupet är konstant (mellan 2 och 3) meter från kanten. För parallelltrapetsets flöde får vi då:
$\displaystyle\int_0^3v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx=\int_0^2v\left(x\right)h_1\left(x\right)\ dx+\int v\left(x\right)h_2\left(x\right)\ dx$
Där $h_2(x)=3$ (eftersom djupet då är konstant 3 meter). Vad får du då att $h_1(x)$ blir? Ett tips är att tänka att du vet att $h_1(0)=0$ och $h_1(2)=3$ .

får det till att $h_{1} (x) = \frac{3 b}{2}$ . Är de rätt? tänker att höjden/djupet ökar linjärt från 0 m till 3m i djup/höjd medan bredden ökar från 0m till 2m. finns det ett bättre sätt att förklara detta?

Ja, det stämmer.

En sak man kan anmärka på är att du skriver blandar mellan $x$ och $b$ som variabel för bredden. Välj en av dem, och skriv den, annars blir det så rörigt.

AlvinB skrev:
Ja, det stämmer.
En sak man kan anmärka på är att du skriver blandar mellan $x$ och $b$ som variabel för bredden. Välj en av dem, och skriv den, annars blir det så rörigt.

okej, tack så mycket för hjälpen :)

AlvinB skrev:
Till att börja med är flödet och alla tre kanaler symmetriska i kanalens mitt. Det gör att du kan beräkna flödet för halva kanalen och sedan multiplicera med två i alla tre fall.
Vad du får göra är sedan att ställa upp en funktion, säg $v(x)$ där $x$ är avståndet från kanten för flödeshastigheten och en funktion för $h(x)$ för kanalens djup $x$ meter från kanten. Då kommer flödet att vara:
$2\displaystyle\int_0^3 v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx$
eftersom vi tar alla små areasegment ( $h\left(x\right)\cdot dx$ ) och multiplicerar med vad flödeshastigheten är just där, vilket går mot en integral när vi tar mindre och mindre segment. Vi integrerar över halva kanalens bredd ( $0-3\ \text{m}$ ) och dubblerar sedan för att få hela kanalens flödeshastighet.

Om vi ritar upp h(x) i ett koordinatsystem där x är avståndet från kanten och h(x) är höjden vid den punkten kommer inte då integralen eller arean under den linje som bildas då x är 0.1<x<0.2 vara den area av tvärsnittet som uppfyller att alla punkter där är mellan 0.1 och 0.2m från kanten?? Detsamma borde gälla då för arean under den del av grafen som uppfyller att 2.9<x<3.0, alltså att den arean är den samma som arean av tvärsnittet som uppfyller att alla punkter där är mellan 2.9 och 3 meter från kanten (och med kanten menar jag alltså någon del av kanten (kanten som är $\sqrt{3^{2} + 3^{2}} m l å n g$ )). Om man ser på grafen h(x) så kommer arean som uppfyller det första kravet (dvs. att alla punkter där är mellan 0.1 och 0.2m från kanten) vara mindre än arean som uppfyller det andra kravet (dvs.att alla punkter där är mellan 2.9 och 3 meter från kanten). När man kan se att det motsatta är sant, bara genom att markera respektive område i figuren. (jag snackar här om h(x) för triangelmodellen, men min fundering är aktuell för alla figurer (förutom den första)).

Jag håller alltså inte med om de funktioner som beskriver höjden som personen kom fram till i presentationen.

Enligt mig borde funktionen för triangeln vara: h(x)=-x+3, vilket alltså medför att den delen där vattnet flödar långsammare (närmare kanten) är större, vilket man kan se i figuren.

Volymen bör alltså bli:

$2 * \int_{0}^{3} v (x) * h (x) d x = 2 * 5, 25 = 10.5$ m³/s

Men jag kanske tänker fel?

Du tänker i alla fall fel om du tror att en volym kan mätas i enheten m³/s. Möjligen tänker du på (volym)flöde).

Det är möjligt att det går att förstå vad du menar om du ritar upp bilden du pratar om och lägger in den här, så att vi kan se den.

Smaragdalena skrev:
Du tänker i alla fall fel om du tror att en volym kan mätas i enheten m³/s. Möjligen tänker du på (volym)flöde).
Det är möjligt att det går att förstå vad du menar om du ritar upp bilden du pratar om och lägger in den här, så att vi kan se den.

Precis, jag menar flöde eller volymen vatten som passerar per sekund. Bilden jag pratar om är den som finns längre upp i tråden. Jag citerade ett inlägg i den här tråden som har just den figuren infogad. Det är alltså kanalen som är triangelformad som jag pratar om.

Jag har också en fråga angående hur integralen funkar när det är produkten av två funktioner av x som skall integreras vilket är fallet här:

$\int_{0}^{3} v (x) h (x) d x$

Om endast h(x) skulle integreras så kan man tänka att arean under kurvan h(x) räknas ut genom att den delas in i mycket små areor som sedan summeras. Hur ser det ut när vi också har v(x)? Är det areasegment från de båda kurvorna som räknas ut och sedan multipliceras med varandra och summeras eller är det areasegment från h(x) som räknas ut och sedan multipliceras med v(x) för det värdet på x som arean räknades ut för?

Att integrera en produkt är i allmänhet inget man vill göra - tänk på hur krångligt det är att derivera en produkt, och integraler är mycket värre! Ibland kan man multiplicera ihop de båda faktorerna så att man får en summa istället, och sådana är mycket enklare att (både derivera och framför allt) integrera.

Jag tror att du missat det faktum att både jag och personen i presentationen räknar från avståndet från kanten, d.v.s. $x=0$ är vid strandkanten:

För kanalen med triangelformat tvärsnitt får vi då att djupet $h(x)$ ges av $h(x)=x$ och inte $h(x)=3-x$ . Observera att man så klart också kan räkna att $x=0$ är i mitten, men då får man ändra om i funktionen $v(x)$ också. Båda metoder leder till samma svar ( $16,5\ \text{m}^3\text{/s}$ ).

För att förstå varför vi ställer upp integralen som vi gör kan det vara bra att för stunden försöka koppla bort tanken att en integral ger arean under en viss kurva. Generellt är en integral

$\displaystyle\int_a^b f\left(x\right)\ dx$

nämligen en sorts oändlig summa av infinitesimalt små termer $f(x)\cdot dx$ (där $dx$ är ett tal som går mot noll) i ett visst intervall $a$ till $b$ . Mer rigoröst definieras detta som gränsvärden av något som kallas för Riemannsummor, men poängen vi behöver förstå i detta sammanhang är att en integral kan användas som ett sätt att beräkna en oändlig summa av infinitesimalt små termer.

Sättet på vilket vi utnyttjar detta är att om vi ser att vi tar en infinitesimalt smal rektangel (med bredden $dx$ ) kan vi anse att flödet $v(x)$ i $\text{m/s}$ och djupet $h(x)$ kommer att vara konstant på denna rektangel (detta är giltigt eftersom $dx$ går mot noll). Vi kan då få volymflödet genom denna smala rektangel genom uttrycket $v(x)\cdot h(x)\cdot dx$ . Tar vi sedan en summa av alla dessa små rektanglar kan vi då beräkna det totala volymflödet. När vi låter antalet termer gå mot oändligheten och $dx$ gå mot noll går denna summa mot en integral, och således kan vi beräkna det totala flödet i halva kanalen med integralen:

$\displaystyle\int_0^3 v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx$

AlvinB skrev:
Jag tror att du missat det faktum att både jag och personen i presentationen räknar från avståndet från kanten, d.v.s. $x=0$ är vid strandkanten:
För kanalen med triangelformat tvärsnitt får vi då att djupet $h(x)$ ges av $h(x)=x$ och inte $h(x)=3-x$ . Observera att man så klart också kan räkna att $x=0$ är i mitten, men då får man ändra om i funktionen $v(x)$ också. Båda metoder leder till samma svar ( $16,5\ \text{m}^3\text{/s}$ ).
För att förstå varför vi ställer upp integralen som vi gör kan det vara bra att för stunden försöka koppla bort tanken att en integral ger arean under en viss kurva. Generellt är en integral
$\displaystyle\int_a^b f\left(x\right)\ dx$
nämligen en sorts oändlig summa av infinitesimalt små termer $f(x)\cdot dx$ (där $dx$ är ett tal som går mot noll) i ett visst intervall $a$ till $b$ . Mer rigoröst definieras detta som gränsvärden av något som kallas för Riemannsummor, men poängen vi behöver förstå i detta sammanhang är att en integral kan användas som ett sätt att beräkna en oändlig summa av infinitesimalt små termer.
Sättet på vilket vi utnyttjar detta är att om vi ser att vi tar en infinitesimalt smal rektangel (med bredden $dx$ ) kan vi anse att flödet $v(x)$ i $\text{m/s}$ och djupet $h(x)$ kommer att vara konstant på denna rektangel (detta är giltigt eftersom $dx$ går mot noll). Vi kan då få volymflödet genom denna smala rektangel genom uttrycket $v(x)\cdot h(x)\cdot dx$ . Tar vi sedan en summa av alla dessa små rektanglar kan vi då beräkna det totala volymflödet. När vi låter antalet termer gå mot oändligheten och $dx$ gå mot noll går denna summa mot en integral, och således kan vi beräkna det totala flödet i halva kanalen med integralen:
$\displaystyle\int_0^3 v\left(x\right)h\left(x\right)\ dx$

Tack för svar, bra förklarat med integraler!

Jag tror vi har tolkat uppgiften olika. Som jag tolkade uppgiften, vilket kan vara en felaktig tolkning men en som är skriven i sten då min lärare närmast beordrade mig att lösa uppgiften på detta sätt. Han tolkade det som så att kanten är hela den sneda-svartmarkerade linjen i figuren, du har löst uppgiften på så sätt att endast avståndet till vad du kallar kanten (punkten längst upp i höger hörn) där x följer kanalens yta, detta medför ju att hastigheten på en given vertikal linje som skär genom kanalen är densamma oberonde djupet (t.e.x den area du har ritat upp). Som min lärare vill att jag ska lösa det så varierar flödeshastigheten olika mycket när man går mot kanten beroende på djupet i startpunkten (i mitten av kanalen). K-värdet på v(x) kommer alltså att vara större och större desto större djupet är (då avståndet till kanten är mindre och mindre). se figur (i punkt a i figuren är alltså flödeshastigheten 0.5 m/s den ökar sedan linjärt när den går mot vänster tills att den når 2.5m/s i punkt b).

Hur ska jag gå tillväga då?

Då kommer allts flödeshastigheten ha olika funktioner (olika k-värden) och flödeshastigheten ökar alltså olika mycket på olika djup när den går mot mitten av kanalen. Det känns som att jag måste ha en dubbelintegral då v(x) kan skrivas v(h(x),x).

Jag tror faktiskt att den tolkningen är fel, av tre anledningar:

I uppgiften är man mycket noga med att tala om strandkanten, och strandkanten finns ju enbart där vattnet slutar och borde därför åsyfta övre högra hörnet.
Ifall man definierar strandkanten på detta vis, vad är då flödet i punkten längst ned i kanalen? (Det gör egentligen detsamma när man integrerar, men det är ju ändå en konstig definition)
Med denna tolkning förvandlas problemet helt plötsligt till ett problem i två variabler som jag skulle säga är rätt så mycket överkurs för Matte 5. (Jag, som är ganska hyfsad på flervariabelanalys, tyckte inte det var helt enkelt!)

Men, denna tolkning ger i alla fall upphov till ett annat intressant problem, och det kan vi ju inte säga nej till att analysera!

Enligt min tolkning ser ju flödet i kanalen ut ungefär så här (rött innebär större flöde, blått innebär mindre):

medans enligt din tolkning ser flödet ut ungefär så här:

Som du helt korrekt poängterat beror nu flödet även på djupet i kanalen och inte bara $x$ . Vi behöver därför beskriva flödet med en tvåvariabelfunktion $v(x,y)$ och därefter integrera den över detta triangelformade område $D$ :

$\displaystyle\iint_D v\left(x,y\right)\ dxdy$

Väljer vi att placera origo längst ned till vänster i triangeln kan vi konstatera ett par saker. Vi vet att flödet skall vara längst till vänster skall vara $2,5\ \text{m/s}$ . Det ger oss att $v(0,y)=2,5$ . Vi vet även att högst upp, där bredden är $3\ \text{m}$ skall flödet vara $0,5\ \text{m/s}$ i högerkant, d.v.s. $v(3,3)=0,5$ . Med analogt resonemang kan vi se att alla punkter på den diagonala linjen till höger också skall ha flödet $3$ , d.v.s. $v(y,y)=0,5$ .

Sedan vet vi att flödet skall öka linjärt i $x$ -led, vilket ger att $v(x,y)$ måste vara på formen $v(x,y)=kx+2,5$ där $k$ är en 'konstant' som beror på $y$ . I och med att vi vet att $v(y,y)=0,5$ kan vi sätta in detta och lösa ut för $k$ :

$v(y,y)=0,5$

$ky+2,5=0,5$

$ky=-2$

$k=-\dfrac{2}{y}$

Således får vi flödet:

$v\left(x,y\right)=2,5-\dfrac{2x}{y}$

Nu återstår att beräkna integralen. Har du någon aning om hur man beräknar en dubbelintegral?

Det borde kunna bli en enklare beräkning om man mäter x vinkelrätt mot den sneda kanten i stället för vågrätt. Då blir vattenhastigheten konstant i varje skiva, medan skivorna blir mindre och mindre ju större x blir.

Smaragdalena skrev:
Det borde kunna bli en enklare beräkning om man mäter x vinkelrätt mot den sneda kanten i stället för vågrätt. Då blir vattenhastigheten konstant i varje skiva, medan skivorna blir mindre och mindre ju större x blir.

Jag satt och grubblade på det här igår kväll, men jag kom fram till att även om du tar parallellogrammer längs med den sneda kanten kommer svaret att bli fel eftersom funktionen inte ökar linjärt i riktning vinkelrätt mot den sneda sidan (och alltså kommer vattenflödet aldrig att vara konstant). Jag kan ha fel, men då skulle jag vilja att svaret med denna metod stämmer överens med mitt svar.

För att återknyta till dina snygga färgglada trianglar högre upp, så antar jag att det skall vara en jämn gradient där hypotenusan är blå och spetsen röd.

Vi kan väl bara konstatera att antingen är uppgiften dåligt formulerad (om man vill att alla som löser den skall komma fram till samma lösning) eller mycket bra formulerad (om man vill att det skall gå att tolka den på många olika sätt).

Smaragdalena skrev:
För att återknyta till dina snygga färgglada trianglar högre upp, så antar jag att det skall vara en jämn gradient där hypotenusan är blå och spetsen röd.

Det skall inte vara en 'jämn gradient' på detta sätt; det var lite det jag försökte illustrera med bilden. Med denna tolkning är det ju så att kateten till vänster alltid skall vara röd och ha flödet $2,5\ \text{m/s}$ medan hypotenusan alltid skall vara blå och ha flödet $0,5\ \text{m/s}$ . Det innebär att flödet växer i $x$ -led mycket snabbare där nere jämfört med där uppe eftersom bredden är mindre, vilket i sin tur gör att det inte är möjligt att integrera i någon form av segment eftersom vi inte kan finna segment i vilka flödet är konstant.

Den enda tolkning som jag tycker verkar fysikaliskt rimlig är den som jag har gjort. Flödet närmast intill väggen/golvet i kanalen är 0,5 m/s, flödet i mitten av flodfåran uppe på ytan är 2,5 m/s. Däremellan växer flödeshastigheten linjärt.

Kan vi enas om att uppgiften är otydligt formulerad (möjligen avsiktligt)?

Smaragdalena skrev:
Den enda tolkning som jag tycker verkar fysikaliskt rimlig är den som jag har gjort. Flödet närmast intill väggen/golvet i kanalen är 0,5 m/s, flödet i mitten av flodfåran uppe på ytan är 2,5 m/s. Däremellan växer flödeshastigheten linjärt.
Kan vi enas om att uppgiften är otydligt formulerad (möjligen avsiktligt)?

Det är en ytterligare variant.

Ja, jag tror vi alla kan hålla med om att uppgiftens formulering ger upphov till flera olika tolkningsmöjligheter och därmed flera olika svar.

AlvinB skrev:
Jag tror faktiskt att den tolkningen är fel, av tre anledningar:
I uppgiften är man mycket noga med att tala om strandkanten, och strandkanten finns ju enbart där vattnet slutar och borde därför åsyfta övre högra hörnet.
Ifall man definierar strandkanten på detta vis, vad är då flödet i punkten längst ned i kanalen? (Det gör egentligen detsamma när man integrerar, men det är ju ändå en konstig definition)
Med denna tolkning förvandlas problemet helt plötsligt till ett problem i två variabler som jag skulle säga är rätt så mycket överkurs för Matte 5. (Jag, som är ganska hyfsad på flervariabelanalys, tyckte inte det var helt enkelt!)
Men, denna tolkning ger i alla fall upphov till ett annat intressant problem, och det kan vi ju inte säga nej till att analysera!
Enligt min tolkning ser ju flödet i kanalen ut ungefär så här (rött innebär större flöde, blått innebär mindre):
medans enligt din tolkning ser flödet ut ungefär så här:
Som du helt korrekt poängterat beror nu flödet även på djupet i kanalen och inte bara $x$ . Vi behöver därför beskriva flödet med en tvåvariabelfunktion $v(x,y)$ och därefter integrera den över detta triangelformade område $D$ :
$\displaystyle\iint_D v\left(x,y\right)\ dxdy$
Väljer vi att placera origo längst ned till vänster i triangeln kan vi konstatera ett par saker. Vi vet att flödet skall vara längst till vänster skall vara $2,5\ \text{m/s}$ . Det ger oss att $v(0,y)=2,5$ . Vi vet även att högst upp, där bredden är $3\ \text{m}$ skall flödet vara $0,5\ \text{m/s}$ i högerkant, d.v.s. $v(3,3)=0,5$ . Med analogt resonemang kan vi se att alla punkter på den diagonala linjen till höger också skall ha flödet $3$ , d.v.s. $v(y,y)=0,5$ .
Sedan vet vi att flödet skall öka linjärt i $x$ -led, vilket ger att $v(x,y)$ måste vara på formen $v(x,y)=kx+2,5$ där $k$ är en 'konstant' som beror på $y$ . I och med att vi vet att $v(y,y)=0,5$ kan vi sätta in detta och lösa ut för $k$ :
$v(y,y)=0,5$
$ky+2,5=0,5$
$ky=-2$
$k=-\dfrac{2}{y}$
Således får vi flödet:
$v\left(x,y\right)=2,5-\dfrac{2x}{y}$
Nu återstår att beräkna integralen. Har du någon aning om hur man beräknar en dubbelintegral?

Vi får se om min lärare ändrar sin tolkning av uppgiften nu när jag har Pluggakuten på min sida :)

Nej, jag har ännu inte gått igenom detta, varken i skolan eller på eget håll. Nu när jag har grubblat över detta så länge så skulle dock vara roligt att få en förklaring till hur tvåvariablefunktionen faktiskt används när man sätter in den i en dubbelintegral . Rent intuitivt så tänker jag att v(x,y) blir en tredje axel i ett koordinatsystemet där axlarna y och x också finns. Om man då sätter in kurvan y(x) där y är höjden i den punkten i mitten av kanalen där det horisontella avståndet till kanten är x (hur fungerar detta?)... Men här blir det jobbigt då x i y(x) åsyftar avståndet till mitten av kanalen för olika punkter på symmetrilinjen i mitten av kanalen men samtidigt så är x olika punkter på den horisontella linjen som är avståndet x i y(x)... Iallafall så borde väl den tredimensionella figuren som bildas av det område under den ytan som funktionen v(x,y) avgränsar med x- och y-axlarna att precis som vanligt delas in i små areasegment? Först delas området som bildas under grafen y(x)i små areasegment sen multipliceras väl denna area i varje enskild punkt med vad v(x,y) är i den punkten. Dessa nu tredimensionella skivor (volym) adderas väl sedan ihop, är detta rimligt? Dock saknar min grafräknare funktionen att använda dubbelintegraler men det kanske finns webbplatser som kan göra sådant?

Jag kan hålla med om att formuleringen avsiktligen är otydligt formulerad. Hur uppgiften tolkas beror väl främst på vad ordet "strandkanten" har för innebörd för personen som ska lösa uppgiften.

Hur man beräknar sådana dubbelintegraler är något som man vanligtvis går igenom i en kurs som kallas flervariabelanalys och som ges först på universitetsnivå, så jag skulle inte bli allt för oroad om du inte hänger med i svängarna här, men så här beräknar man den:

Det första vi behöver göra är att beskriva området $D$ med olikheter. Vi ser att det ringas in av linjerna $y=0$ , $y=3$ , $x=0$ och $x=y$ :

Detta ger oss olikheterna $0\leq y\leq 3$ och $0\leq x\leq y$ vilka vi kan använda som integrationsgränser. Sedan gäller det bara att beräkna integralen:

$\displaystyle\iint_Dv\left(x,y\right)\ dxdy=\int_0^3\int_0^y2,5-\frac{2x}{y}\ dxdy=\int_0^3\left[2,5x-\frac{x^2}{y}\right]_0^y\ dy=$

$\displaystyle=\int_0^3 2,5y-\frac{y^2}{y}\ dy=\int_0^3 1,5y\ dy=\left[0,75y^2\right]_0^3=0,75\cdot 3^2=6,75$

Sitter nu med samma uppgift och undrar hur jag ska få fram V (x) h(x)?

I funktionen för V vet jag att m= 0,5 då detta är det minsta värde funktionen kan anta, men hur får jag fram resten av funktionen?

För h (x) h= 3 för rektangeln hela vägen men för triangeln endast i mitten. Hur kommer det sig att jag kan anta h=3 för de både?