Flöden och nätverk Problem: Parktrafik

I figuren nedan visas ett nätverk som representerar biltrafiken i ett parkområde. Flödena på varje gren indikerar antalet bilar som passerar denna väg varje timme.

a.) Vad kan du säga om antalet bilar per timme som färdas på de fyra gatorna som ligger längs med parken?

Ställ upp ett ekvationssystem, lös med Gausseliminering, tolka resultatet och svara på frågan.

Jag började med att beteckna de fyra gatorna längs parken på följande sätt:

Jag ställde sedan upp ekvationer för vad som kommer in respektive ut för varje nod:

Nod 1: $x_{21} + x_{41} = 1000$

Nod 2: $1000 = x_{21} + x_{23}$

Nod 3: $x_{23} + x_{43} = 700$

Nod 4: $700 = x_{43} + x_{41}$

jag ställer upp ekvationssystemet:

$\{\begin{cases} x_{41} + x_{21} + 0 x_{23} + 0 x_{43} = 1000 \\ 0 x_{41} + x_{21} + x_{23} + 0 x_{43} = 1000 \\ 0 x_{41} + 0 x_{21} + x_{23} + x_{43} = 700 \\ x_{41} + 0 x_{21} + 0 x_{23} + x_{43} = 700 \end{cases}$

När jag löser detta får jag

$\{\begin{cases} x_{41} = 0 \\ x_{21} = 1000 \\ x_{23} = 0 \\ x_{43} = 700 \end{cases}$

jag vet att detta är fel eftersom facit säger något annat.

Vad har jag gjort för fel?

(Jag är väldigt ny till nätverk och flöden.)

Felpost.

Jag får samma sak just nu. Vad säger facit?

Laguna skrev:
Jag får samma sak just nu. Vad säger facit?

Ska kolla facit. Men stämmer det verkligen att detta är ett system med en unik lösning?

Jag hade gjort ett misstag när jag Gausseliminerade. Såhär ser den korrekta uträkningen ut:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & = 1000 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & = 1000 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & = 700 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & = 700 \end{matrix})$

Adderar -1*första ekvationen till fjärde ekvationen

$\mapsto (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & = 1000 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & = 1000 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & = 700 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 & = - 300 \end{matrix})$

Adderar andra ekvationen till fjärde:

$\mapsto (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 & = 1000 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & = 1000 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & = 700 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & = 700 \end{matrix})$

vi ser nu att ekvation 3 = ekvation 4

Vi får alltså en (4-3) - parametrisk lösning, en en-parametrisk lösning:

$\{\begin{cases} x_{41} = 700 - t \\ x_{21} = 300 + t \\ x_{23} = 700 - t \\ x_{43} = t \end{cases}$

Svara

Visa senaste svar