Flöde in genom en paraboloid avgränsad av ett sluttande plan

Hej,

Jag har suttit ganska länge nu och klurat på hur jag ska räkna ut följande uppgift:

Jag har vänt och vridit på uttrycket som jag landar i (se längs ned) . Om jag försöker med integration dxdy så blir det ett väldigt långt uttryck och jag har svårt att sätt ut gränserna. Om jag försöker integration med drd(theta) så har jag en cirkel med centrum i (-1,0) och radien 2, jag löser inte detta integrationsområde..

Jag har säkert missat någon liten detalj (det brukar vara så :P) . Om någon känner sig manad så skulle jag vara glad öför lite input :) Tack på förhand. MVH, Andreas

Hej Sjotorparn,

Det ser ut som du använder parameterframställningen

$S\,:\quad \mathbf{r}=(x,y,f(x,y)), \quad (x,y)\in D$

Normalen (med rätt skalfaktor) ges av

$\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y}=(-f_x',-f_y', 1)$

Och då pekar normalen i positiv z-led. Du verkar ha blandat ihop det lite.

Sen några räknetekniska tips. Enligt Gauss sats (som ni förhoppningsvis har gått igenom) gäller att divergensen av fältet i en sluten volym V ska vara lika med flödet ut genom den slutna yta som begränsar V.

Om divergensen är 0 i en volym V som begränsas av en styckvis glatt yta (vilket kanske är fallet för ditt fält ;) ) måste alltså det samlade flödet genom begränsningsytorna vara 0.

Om flödet genom ut genom planet är känt vet du därmed flödet in genom den paraboliska ytan och vice versa.

Det går alldeles utmärkt att beräkna integralen för den paraboliska ytan, särskilt om man är masochistiskt lagd, men planet ger enklare räkningar.

Slutligen, skulle det dyka upp integraler som ser ut som varianter av $\int_0^{2\pi}\cos(u)\, du$ eller $\int_0^{2\pi}\sin^3(u)\,du$ bör du genast inse att de är 0 eftersom de ligger lika mycket över som under u-axeln över ett helt varv.

Hej Guggle,

Tack för ditt omfattande svar. Jag ska se om jag kan finna mig fram till en lösning m.h.a. det du skrivit. Dock har jag häcken full med andra inlämningar för tillfället så jag får ta det när jag har tid. Men tack för din feedback!

MVH, Andreas

Svara