Flöde av fält

Enl tipset är den utåtriktade enhetsnormalen på den inre begränsningen n=-1/sqrt(2)×r, men jag fattar inte varför jag behöver den 🤦‍♀️ jag visar hur jag tänkt, anledningen till att jag inte fortsätter är att sättet jag börjat räkna på gör att sqrt(2) och sqrt(3) föravinner och enl facit ska de vara med..

Boken hänvisar även till upp 10.19 vilken jag har löst och fått rätt svar på, men det betyder ju inte att jag har gjort rätt så jag lägger med den också i slutet. Jag vill bara fatta...

Har du testat att använda Gauss' sats?

Jag förstår faktiskt inte riktigt hur man ska kunna beräkna det här (om det inte finns någon enkel sats som jag missat som typ säger att flödet = flöde1 - flöde2 eller nåt).

På den yttre begränsningsytan S₁ är enhetsnormalen lika med r/|r|. På den inre begränsningsytan S₂ är enhetsnormalen lika med -r/|r|.

Integration över S₁ ger

$∯ \frac{r ∙ r}{{|r|}^{4}} d S = \frac{1}{{|r|}^{2}} ∯ d S = \frac{4 π {|r|}^{2}}{{|r|}^{2}} = 4 π .$ (Eftersom $|r|$ är konstant över hela S₁)

Eftersom normalen är riktad åt andra hållet på S₂ så blir integralen över S₂ lika med -4 $π$ . Så totala flödet blir noll.

Du kan även inse detta via Gauss.

div( $\frac{r}{{|r|}^{3}}$ ) = grad(1/|r|³)•r + div(r)/|r|³ = -3 $\frac{r}{{|r|}^{5}}$ •r + 3/|r|³ = 0 (då r $\neq$ 0).

Svara