Flervarre: Volym i en kon i en sfär

Hejsan, jag blir lite konfunderad över en uppgift.

Uppgift:

Hitta volymen inuti konen $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , och inuti sfären $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ .

Lösning:

Jag löser ut z ur konen och sfären: $z_{k} = r, z_{s} = \sqrt{a^{2} - r^{2}}$

Sätter sedan ekvationerna lika med varandra och löser ut radien: $r = \sqrt{(a^{2} - r^{2})} \leftrightarrow r = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Jag har då tolkat detta som gränserna för integralerna $d V = r d r d θ d z$ , detta är då enligt cylindriska koordinater.

Gränserna blir: $\int_{0}^{a / \sqrt{2}} r d r * \int_{0}^{2 π} d θ * \int_{r}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} d z$ .

Problem:

Frågan är, kan jag använda cylindriska koordinater eller måste jag använda sfäriska koordinater?
I boken löser de nämligen ett liknande problem gällande en sfär och en paraboloid med cylindriska koordinater, då tänker jag att denna uppgift går att lösa på liknande sätt?

Tack på förhand!

Du borde absolut kunna använda cylindriska koordinater; då borde volymen bli (som du skriver)

$\int_{0}^{a / \sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} \int_{z = r}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r d r d θ d z = \int_{0}^{a / \sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - r^{2} d r d θ$ .

Med substitution eller liknande fås

$\int_{0}^{2 π} {[\frac{- {(a^{2} - x^{2})}^{3 / 2}}{3} - \frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{a / \sqrt{2}} d θ = \frac{π}{6} (4 - 2 \sqrt{2}) a^{3}$ .

I sfäriska koordinater $(r, θ, φ)$ kommer igen $0 \leq θ \leq 2 π$ , men med $0 \leq φ \leq π / 4$ och $0 \leq r \leq a$ .

Då funktionaldeterminanten i sfäriska koordinater är $r^{2} \sin θ$ fåsiställettrippelintegralen

$\int_{0}^{a} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 4} r^{2} \sin θ d r d θ d φ = 2 π {[\frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{a} {[- \cos θ]}_{0}^{π / 4}$

som också ger svaret $\frac{2 π a^{3}}{3} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{4 π a^{3}}{6} (1 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{π}{6} (4 - 2 \sqrt{2}) a^{3} .$
Ibland är det lättare med cylindriska och ibland lättare med sfäriska.

Happyeagle skrev:
Då funktionaldeterminanten i sfäriska koordinater är $r^{2} \sin θ$ fåsiställettrippelintegralen

Gör radbrytning för att kunna göra mellanslag igen. PA:s mathtype-implementering är buggig.

Happyeagle skrev:
Du borde absolut kunna använda cylindriska koordinater; då borde volymen bli (som du skriver)

$\int_{0}^{a / \sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} \int_{z = r}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r d r d θ d z = \int_{0}^{a / \sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - r^{2} d r d θ$ .
Med substitution eller liknande fås
$\int_{0}^{2 π} {[\frac{- {(a^{2} - x^{2})}^{3 / 2}}{3} - \frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{a / \sqrt{2}} d θ = \frac{π}{6} (4 - 2 \sqrt{2}) a^{3}$ .

Här i ditt sista steg undrar jag hur du gör substitionen då det känns som att ett r försvinner eller i detta fall där du verkar ha ersatt r med x? då antar jag att du bara har missat att skriva $(\frac{- x^{3}}{3})$ istället för r i sista termen? :)
$x = (- r), \frac{d x}{d r} = (- 1), \frac{d x}{- 1} = d r$ , det saknas ändå ett x tycker jag, vad är det jag missar?

Jag kom hit i mina beräkningar igår: $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a / \sqrt{2}} (r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - r^{2} d r d θ = \int_{0}^{2 π} [\frac{r^{2}}{2} * \frac{2}{3} * {(a^{2} - r^{2})}^{3 / 2} - \frac{r^{3}}{3}]$ , denna är troligtvis fel men jag testade även med partiell integration och fick då:

$\int r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - \int r^{2} = = [\frac{r^{2}}{2} \sqrt{a^{2} - r^{2}}] - \int \frac{r^{2}}{2} * \frac{1}{2} * {(a^{2} - r^{2})}^{- 1 / 2} - [\frac{r^{3}}{3}] = (\frac{a^{2}}{4} * {(a^{2} - \frac{a^{2}}{2})}^{1 / 2}) - (\frac{a^{3}}{12 \sqrt{2}} * {(a^{2} - \frac{a^{2}}{2})}^{1 / 2}) - \frac{a^{3}}{12 \sqrt{2}}$

Men detta blir inte heller korrekt då jag får en $a^{4}$ -term...

PhilipL skrev:
Happyeagle skrev:
Du borde absolut kunna använda cylindriska koordinater; då borde volymen bli (som du skriver)

$\int_{0}^{a / \sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} \int_{z = r}^{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r d r d θ d z = \int_{0}^{a / \sqrt{2}} \int_{0}^{2 π} r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - r^{2} d r d θ$ .
Med substitution eller liknande fås
$\int_{0}^{2 π} {[\frac{- {(a^{2} - x^{2})}^{3 / 2}}{3} - \frac{r^{3}}{3}]}_{0}^{a / \sqrt{2}} d θ = \frac{π}{6} (4 - 2 \sqrt{2}) a^{3}$ .
Här i ditt sista steg undrar jag hur du gör substitionen då det känns som att ett r försvinner eller i detta fall där du verkar ha ersatt r med x? då antar jag att du bara har missat att skriva $(\frac{- x^{3}}{3})$ istället för r i sista termen? :)
$x = (- r), \frac{d x}{d r} = (- 1), \frac{d x}{- 1} = d r$ , det saknas ändå ett x tycker jag, vad är det jag missar?

Jag kom hit i mina beräkningar igår: $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a / \sqrt{2}} (r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - r^{2} d r d θ = \int_{0}^{2 π} [\frac{r^{2}}{2} * \frac{2}{3} * {(a^{2} - r^{2})}^{3 / 2} - \frac{r^{3}}{3}]$ , denna är troligtvis fel men jag testade även med partiell integration och fick då:
$\int r \sqrt{a^{2} - r^{2}} - \int r^{2} = = [\frac{r^{2}}{2} \sqrt{a^{2} - r^{2}}] - \int \frac{r^{2}}{2} * \frac{1}{2} * {(a^{2} - r^{2})}^{- 1 / 2} - [\frac{r^{3}}{3}] = (\frac{a^{2}}{4} * {(a^{2} - \frac{a^{2}}{2})}^{1 / 2}) - (\frac{a^{3}}{12 \sqrt{2}} * {(a^{2} - \frac{a^{2}}{2})}^{1 / 2}) - \frac{a^{3}}{12 \sqrt{2}}$
Men detta blir inte heller korrekt då jag får en $a^{4}$ -term...

I första steget missade Du ingenting utan jag skrev ett x istället för r av misstag, men bortsett från detta tror jag att den primitiva funktionen är korrekt. Det är ju enkelt att kontrollderivera:

$\frac{d}{d r} (- (a$ ²-r²)3/23-r33)=-32(a²-r²)1/23(-2r)-r2=ra2-r2-r2.

I din partiella integration tror jag att Du glömt den inre derivatan av $\sqrt{a^{2} - r^{2}}$ . Med substitution menade jag till exempel

$\int r \sqrt{a^{2} - r^{2}} d r = [a^{2} - r^{2} = y] = \frac{- 1}{2} \int \sqrt{y} d y = \frac{- 1}{2} \frac{y^{3 / 2}}{3 / 2} + C = - (a$ ²-r²)3/23+C.

mattefunktionen buggar så det är svårt att tyda dina beräkningar :/

men med substition: $y = a^{2} - r^{2}, \frac{d y}{d r} = - 2 r, d r = \frac{d y}{- 2 r}$

$\int (r \sqrt{y}) \frac{d y}{- 2 r} = - \frac{1}{2} \int \sqrt{y}$ , tror jag ser vad du menar!

Inre derivata ja, tack!

Svara

Visa senaste svar