5 svar
138 visningar
PhilipL behöver inte mer hjälp
PhilipL 112
Postad: 28 jul 2020 15:13

Flervarre: Volym i en kon i en sfär

Hejsan, jag blir lite konfunderad över en uppgift.

Uppgift:

Hitta volymen inuti konen z=x2+y2, och inuti sfären x2+y2+z2=a2.

Lösning:

Jag löser ut z ur konen och sfären: zk=r, zs=a2-r2

Sätter sedan ekvationerna lika med varandra och löser ut radien: r=(a2-r2)r=a2

Jag har då tolkat detta som gränserna för integralerna dV=rdr dθ dz, detta är då enligt cylindriska koordinater.

Gränserna blir: 0a/2rdr*02πdθ*ra2-r2dz.

Problem:

Frågan är, kan jag använda cylindriska koordinater eller måste jag använda sfäriska koordinater?
I boken löser de nämligen ett liknande problem gällande en sfär och en paraboloid med cylindriska koordinater, då tänker jag att denna uppgift går att lösa på liknande sätt?

 

Tack på förhand!

Happyeagle 22 – Fd. Medlem
Postad: 28 jul 2020 16:06

Du borde absolut kunna använda cylindriska koordinater; då borde volymen bli (som du skriver)

 

0a/202πz=ra2-r2rdrdθdz=0a/202πra2-r2-r2drdθ.

Med substitution eller liknande fås

02π-(a2-x2)3/23-r330a/2 dθ = π6(4-22)a3.

 

I sfäriska koordinater (r, θ, φ)kommer igen  0θ2π, men med 0φπ/4 och 0ra

Då funktionaldeterminanten i sfäriska koordinater är r2sinθfåsiställettrippelintegralen

0a02π0π/4r2sinθdrdθdφ=2πr330a-cos θ0π/4

som också ger svaret 2πa33(1-12)=4πa36(1-12)=π6(4-22)a3.
Ibland är det lättare med cylindriska och ibland lättare med sfäriska. 

SaintVenant 3916
Postad: 28 jul 2020 16:51
Happyeagle skrev:

Då funktionaldeterminanten i sfäriska koordinater är r2sinθfåsiställettrippelintegralen

Gör radbrytning för att kunna göra mellanslag igen. PA:s mathtype-implementering är buggig.

PhilipL 112
Postad: 29 jul 2020 08:37 Redigerad: 29 jul 2020 09:05
Happyeagle skrev:

Du borde absolut kunna använda cylindriska koordinater; då borde volymen bli (som du skriver)

 

0a/202πz=ra2-r2rdrdθdz=0a/202πra2-r2-r2drdθ.

Med substitution eller liknande fås

02π-(a2-x2)3/23-r330a/2 dθ = π6(4-22)a3.

Här i ditt sista steg undrar jag hur du gör substitionen då det känns som att ett r försvinner eller i detta fall där du verkar ha ersatt r med x? då antar jag att du bara har missat att skriva (-x33) istället för r i sista termen? :)
x=(-r), dxdr=(-1), dx-1=dr, det saknas ändå ett x tycker jag, vad är det jag missar?

 

Jag kom hit i mina beräkningar igår: 02π0a/2(ra2-r2-r2 dr dθ=02πr22*23*a2-r23/2-r33, denna är troligtvis fel men jag testade även med partiell integration och fick då: 

ra2-r2-r2==r22a2-r2-r22*12*(a2-r2)-1/2-r33=(a24*(a2-a22)1/2)-(a3122*(a2-a22)1/2)-a3122

Men detta blir inte heller korrekt då jag får en a4-term... 

Happyeagle 22 – Fd. Medlem
Postad: 29 jul 2020 10:54
PhilipL skrev:
Happyeagle skrev:

Du borde absolut kunna använda cylindriska koordinater; då borde volymen bli (som du skriver)

 

0a/202πz=ra2-r2rdrdθdz=0a/202πra2-r2-r2drdθ.

Med substitution eller liknande fås

02π-(a2-x2)3/23-r330a/2 dθ = π6(4-22)a3.

Här i ditt sista steg undrar jag hur du gör substitionen då det känns som att ett r försvinner eller i detta fall där du verkar ha ersatt r med x? då antar jag att du bara har missat att skriva (-x33) istället för r i sista termen? :)
x=(-r), dxdr=(-1), dx-1=dr, det saknas ändå ett x tycker jag, vad är det jag missar?

 

Jag kom hit i mina beräkningar igår: 02π0a/2(ra2-r2-r2 dr dθ=02πr22*23*a2-r23/2-r33, denna är troligtvis fel men jag testade även med partiell integration och fick då: 

ra2-r2-r2==r22a2-r2-r22*12*(a2-r2)-1/2-r33=(a24*(a2-a22)1/2)-(a3122*(a2-a22)1/2)-a3122

Men detta blir inte heller korrekt då jag får en a4-term... 

I första steget missade Du ingenting utan jag skrev ett x istället för r av misstag, men bortsett från detta tror jag att den primitiva funktionen är korrekt. Det är ju enkelt att kontrollderivera: 

 

ddr(-(a2-r2)3/23-r33)=-32(a2-r2)1/23(-2r)-r2=ra2-r2-r2.

 

I din partiella integration tror jag att Du glömt den inre derivatan av a2-r2. Med substitution menade jag till exempel

 

ra2-r2dr=a2-r2=y=-12ydy=-12y3/23/2+C=-(a2-r2)3/23+C.

PhilipL 112
Postad: 29 jul 2020 11:20 Redigerad: 29 jul 2020 11:21

mattefunktionen buggar så det är svårt att tyda dina beräkningar :/

men med substition: y=a2-r2, dydr=-2r, dr=dy-2r

(ry)dy-2r=-12y, tror jag ser vad du menar!

Inre derivata ja, tack!

Svara
Close