Flervarre: Stokes sats

Jag förstår inte. Definitionen av konservativt vektorfält är inte att det ska vara definierat i hela $\mathbb{R}^3$ och tillhöra klass $C^2$. Du har krav på första ordningens partiella derivator...

Det finns inget i texten som säger att rotF = 0. Då hade uppgiften varit rätt trivial. Annars så tänker du nog rätt när det gäller att använda Stokes.

Sedan finns det generell formel som säger att div(rotF) = 0. Vilket kan vara till hjälp på b).

Ja sorry, jag kanske har missförstått något. Men vad är då anledningen till att vi inte kan säga att vektorfältet $\mathbf{F}$ är konservativ? Är det för att vi inte vet om nedan uppfylls:

Kalla vektorfältet för $F(x,y,z)=(P,Q,R)$. Om $F$ är ett glatt plant vektorfält i en öppen enkelt sammanhängande mängd D, så måste nedan uppfyllas för att $F$ ska vara konservativ
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}$

Vi vet att mängden är öppet enkelt sammanhängande och att vektorfältet är glatt och plant i D, men även om $F$ tillhör C1 och C2 är det inte tillräckligt för att veta om sambandet uppfylls, därför kan vi inte säga att $F$ är konservativ? 
Om detta är sant då tror jag vart jag rörde ihop det, vilket är ganska dumt nu när jag tänker efter.

C2 betyder väl bara att vi har kontinuerliga andra ordningens derivator.

Detta i sin tur betyder att derivatorna kommuterar. Tex $\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2}{\partial y\partial x}$, vilket utnyttjas då man visar att div(rotF) = 0. Men det implicerar inte att rotF = 0.

PATENTERAMERA skrev:

C2 betyder väl bara att vi har kontinuerliga andra ordningens derivator.

Detta i sin tur betyder att derivatorna kommuterar. Tex $\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^2}{\partial y\partial x}$, vilket utnyttjas då man visar att div(rotF) = 0. Men det implicerar inte att rotF = 0.

Ja, just det sambandet för b) förstår jag. Men jag undrar mer specifikt vad man kan egentligen säga ang om vektorfältet är konservativ eller inte? Jag gissar att svaret på det är att man inte kan säga något om det eftersom det inte finns tillräckligt med information helt enkelt, och istället måste bara arbeta på annat sätt för att lösa a och b t.ex såsom diskuterats i tråden.

Att ett vektorfält $\mathbf{F}$ är konservativt betyder att det finns en skalär funktion $\phi$ på det aktuella området $\Omega$ så att

$\mathbf{F}=\nabla \phi$

Man säger också att ett fält med den speciella egenskapen är ett potentialfält. Eftersom vi tydligen ska derivera den skalära funktionen $\phi$ måste den åtminstone vara $C^1$

Det är långtifrån alla fält som har den speciella (och som det visar sig mycket fördelaktiga) egenskapen.

Det finns inget i den här uppgiften som antyder att det fält man undersöker skulle gå att teckna som gradienten av en skalär funktion.

D4NIEL skrev:

Att ett vektorfält $\mathbf{F}$ är konservativt betyder att det finns en skalär funktion $\phi$ på det aktuella området $\Omega$ så att

$\mathbf{F}=\nabla \phi$

Man säger också att ett fält med den speciella egenskapen är ett potentialfält. Eftersom vi tydligen ska derivera den skalära funktionen $\phi$ måste den åtminstone vara $C^1$

Det är långtifrån alla fält som har den speciella (och som det visar sig mycket fördelaktiga) egenskapen.

Det finns inget i den här uppgiften som antyder att det fält man undersöker skulle gå att teckna som gradienten av en skalär funktion.

Och det betyder att vi inte vet om F är konservativ eller inte eftersom vi inte har tillräckligt med information? Eller betyder detta att F är inte konservativ i uppgiften?

Det är ett generellt C² vektorfält. Vi vet inte om det är konservativt eller ej. Om det skulle vara konservativt så blir problemet trivialt, eftersom i ett sådant fall så är rotF = 0.

Ja, bra det är vad jag kom fram till till slut. Tack!