Flervarre - Partiell integration

Hejsan, Jag undrar om någon vänlig själ kan hjälpa mig.

Uppgift: Bestäm lösningarna på formen $f (x, y) = g (x^{2} + y^{2})$ till partiella differentialekvationen $f_{x x} + f_{y y} = x^{2} + y^{2}$

Beräkning: Jag testade med variabelbyte

$u = x^{2} + y^{2}$ som då ger $f (x, y) = g (u)$ .

1. $f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}, g_{1} = \frac{\partial g}{\partial u} \to 2 x * g_{1} f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}, \to 2 y * g_{1}$

2. $f_{x x} = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) = \frac{\partial}{\partial x} (2 x * g_{1}) = 2 * g_{1} + (2 x * \frac{\partial g_{1}}{\partial x}) = 2 * g_{1} + 2 x * (\frac{\partial g_{1}}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}) = 2 * g_{1} + 2 x * (g_{11} * 2 x) = 2 * g_{1} + 4 x^{2} * g_{11} f_{y y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial y} (2 y * g_{1}) = 2 * g_{1} + (2 y * \frac{\partial g_{1}}{\partial x}) = 2 * g_{1} + 2 y * (\frac{\partial g_{1}}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}) = 2 * g_{1} + 2 x * (g_{11} * 2 y) = 2 * g_{1} + 4 y^{2} * g_{11}$

3. Sätter in värdena för $f_{x x} o c h f_{y y}$ , i min partiella differentialekvation där förenkling ger:

$4 \frac{\partial g}{\partial u} + 4 \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} (x^{2} + y^{2}) = x^{2} + y^{2}$

$4 \frac{\partial g}{\partial u} + 4 u \frac{\partial^{2} g}{\partial u^{2}} = u$

Här kör jag fast... vet inte hur jag ska fortsätta eller om jag är helt ute och cyklar..

Tack på förhand!

Ekvationen

$4\dfrac{\partial g}{\partial u}+4u\dfrac{\partial^2 g}{\partial u^2}=u$

är ju en differentialekvation i en variabel. Lös den precis som du skulle lösa $4y'+4xy''=x$ .

Jag har försökt få lösa den så men blir inte rätt..

$4 g' + 4 u g'' = u 4 g' = u - 4 u g'' 4 g' = u (1 - 4 g'') \frac{4 g'}{1 - 4 g''} = u$

Här kör jag fast.. att integrera den funktionen är är fruktansvärt, om jag inte missar något uppenbart samband?

Hej,

Du behöver två variabler $(u,v)$ som ersätter $(x,y)$ . Förslagsvis väljer du planpolära koordinater $(u,v)$ så att

$x=u\cos v$ och $y=u\sin v$ .

Då blir

$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{1}{\cos v}\frac{\partial}{\partial u} -\frac{1}{u\sin v}\frac{\partial}{\partial v}$

och

$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{\sin v}\frac{\partial}{\partial u} +\frac{1}{u\cos v}\frac{\partial}{\partial v}.$

PhilipL skrev:

$4 g' + 4 u g'' = u 4 g' = u - 4 u g'' 4 g' = u (1 - 4 g'') \frac{4 g'}{1 - 4 g''} = u$

Har du testat med integrerande faktor?

Albiki skrev:
Hej,

Du behöver två variabler $(u,v)$ som ersätter $(x,y)$ . Förslagsvis väljer du planpolära koordinater $(u,v)$ så att

$x=u\cos v$ och $y=u\sin v$ .

Låter bra, har själv funderat på (u,v) men inte kommit på hur jag skulle implementera båda variablerna.

Men jag undrar hur du får detta?

Då blir

$\frac{\partial}{\partial x} = \frac{1}{\cos v} \frac{\partial}{\partial u} - \frac{1}{\sin v} \frac{\partial}{\partial v}$

och

$\frac{\partial}{\partial y} = \frac{1}{\sin v} \frac{\partial}{\partial u} + \frac{1}{\cos v} \frac{\partial}{\partial v}$

Alltså, hur får du 1/cos?
Jag testade göra detta från början:

$f_{x x} + f_{y y} = x^{2} + y^{2} = u^{2} \cos^{2} v + u^{2} \sin^{2} v = u^{2} (\cos^{2} v + \sin^{2} v) = u^{2}$

Ger det mig att $f (x, y) = g (u, v), g (u, v) = u^{2}$ ?

I så fall får jag: $f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{\partial}{\partial u} = g_{1} * \cos v ?$ , antar du menar att man deriverar x med avseende på u?

Jag förstår inte hur du får fram 1/cos och 1/sin?

Svara

Visa senaste svar