flervarre, dubbellintegral

Det ser bra ut, utnyttja nu (eller redan tidigare i beräkningen) att området är symmetriskt och att delar av integranden är udda. Det städar upp integralen ganska ordentligt!

Vad får du kvar? Kan du lösa den integralen?

D4NIEL skrev:

Det ser bra ut, utnyttja nu (eller redan tidigare i beräkningen) att området är symmetriskt och att delar av integranden är udda. Det städar upp integralen ganska ordentligt!

Vad får du kvar? Kan du lösa den integralen?

Området är väl symmetriskt med avseende på både x och y? Fast jag ser inte hur funktionen är en udda funktion, gäller det inte att till ex f(-x,y) = -f(x,y)? Men det kan man väl inte säga här?

Redan tidigt i uppgiften kan du konstatera att

Termen $\frac{x}{1+x^2+2y^2}$ är udda över y-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.

Termen $\frac{y}{1+x^2+2y^2}$ är udda över x-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.

I det du har räknat fram just nu kan du konstatera att $\int sin(\theta)\,d\theta=0$ när vi snurrar ett helt varv. Detsamma gäller naturligtvis  $\int cos(\theta)\,d\theta=0$ när vi snurrar ett helt varv.

Vad får du kvar då?

D4NIEL skrev:

Redan tidigt i uppgiften kan du konstatera att

Termen $\frac{x}{1+x^2+2y^2}$ är udda över y-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.

Termen $\frac{y}{1+x^2+2y^2}$ är udda över x-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.

I det du har räknat fram just nu kan du konstatera att $\int sin(\theta)\,d\theta=0$ när vi snurrar ett helt varv. Detsamma gäller naturligtvis  $\int cos(\theta)\,d\theta=0$ när vi snurrar ett helt varv.

Vad får du kvar då?

Ah man kan förstås dela upp funktionen, då fattar jag. Ja då bör man till slut vara kvar med ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{2}r}{1+2r^2}$

Ja det stämmer, och om man vill kan man skriva om den lite så kanske det blir lättare att känna igen;

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^{1}\frac{\sqrt{2}r}{1+2r^2}\,drd\theta=2\pi \sqrt2 \frac14\int_0^{1}\frac{4r}{1+2r^2}\,dr$

Känner du igen standardintegralen? Det har något med $\frac{f^\prime}{f}$ att göra...

Edit: ändrade gränsen för $r$. Intervallet för $r$ ska vara från $0$ till  $1$ givet parameterframställningen.

D4NIEL skrev:

Ja det stämmer, och om man vill kan man skriva om den lite så kanske det blir lättare att känna igen;

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt2}\frac{\sqrt{2}r}{1+2r^2}\,drd\theta=2\pi \sqrt2 \frac14\int_0^{\sqrt 2}\frac{4r}{1+2r^2}\,dr$

Känner du igen standardintegralen? Det har något med $\frac{f^\prime}{f}$ att göra...

Ah har det någat att göra med variabelsubstitution där du byter ut

 $$\begin{gathered} 1+2r^2\to u \\ u\text{'}=4r \\ dr=\frac{du}{4r} \\ ... \\ \int \frac{1}{u}du=\ln \left(u\right) \end{gathered}$$

Ja, så kan man göra. Kom ihåg att gränserna ändras om du gör en substitution.

Så vad landar du i för svar?

Edit: Och "standardintegralen" jag tänkte mig var

$\displaystyle \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,dx=$$\ln|f(x)|$

Huruvida det är standard kanske kan diskuteras :)

D4NIEL skrev:

Ja, så kan man göra. Kom ihåg att gränserna ändras om du gör en substitution.

Så vad landar du i för svar?

 

Edit: Och "standardintegralen" jag tänkte mig var

$\displaystyle \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,dx=$$\ln|f(x)|$

Huruvida det är standard kanske kan diskuteras :)

Jag landar i $\frac{\pi }{\sqrt{2}}·\ln \left(5\right)$

Ja, det stämmer med den övre gräns på $r$ jag råkade skriva i inlägg #6, men i din parameterframställning  ska $r$ löpa från 0 till 1

dvs det ska bli

$\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt 2}\int_0^1\frac{4r}{1+2r^2}\,dr=\frac{\pi}{\sqrt 2}\ln(3)$

Ber om ursäkt för det. Är du med på det?

D4NIEL skrev:

Ja, det stämmer med den övre gräns på $r$ jag råkade skriva i inlägg #6, men i din parameterframställning  ska $r$ löpa från 0 till 1

dvs det ska bli

$\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt 2}\int_0^1\frac{4r}{1+2r^2}\,dr=\frac{\pi}{\sqrt 2}\ln(3)$

Ber om ursäkt för det. Är du med på det?

Du menar att r inte varierar mellan $0\le r\le \sqrt{2}$utan $0\le r\le 1$

Är det så alltid med när området är en ellips eftersom att man alltid vill få den på formen ${\left(\frac{x}{A}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2\le 1$

Jag undrar för att om du kollar sista exemplet längs ner på https://www.ludu.co/course/flervarre/flervariabel-koordinatsystem

så ser du att gränsen för r går mellan $1\le r\le 2$ trots att den är en ellips. Men det är möjligt att de löst den på ett annat sätt, eller?

Ja, det beror på hur du parametriserar. Om du t.ex. valt parameterframställningen

$x=r\cos(\theta)$

$y=\frac{r}{\sqrt 2}\sin(\theta)$

Hade $r$ gått mellan $0$ och $\sqrt{2}$. Dessutom hade jakobianen blivit $\frac{r}{\sqrt 2}$

Du kan alltid kontrollera att det blir rätt genom att sätta in något extremvärde. För y=0 i ellipsen, längst ut till höger. ska ellipsens ekvation ge 2, alltså

$x^2+2y^2=2$

$(r\cos(\theta))^2+2\cdot 0 =2$

Och med $\theta=0$ uppnår vi bara det om $r=\sqrt{2}$

Om vi däremot använder din parameterframställning $x=\sqrt 2 \cos(\theta)$ får vi (då y=0 längst ut till höger)

$x^2+2y^2=(\sqrt 2 r \cos( \theta))^2=2r^2$

Vilket ger 2 om $r=1$, alltså ska $r$ gå från $0$ till $1$ i din parameterframställning.

D4NIEL skrev:

Ja, det beror på hur du parametriserar. Om du t.ex. valt parameterframställningen

$x=r\cos(\theta)$

$y=\frac{r}{\sqrt 2}\sin(\theta)$

Hade $r$ gått mellan $0$ och $\sqrt{2}$. Dessutom hade jakobianen blivit $\frac{r}{\sqrt 2}$

Du kan alltid kontrollera att det blir rätt genom att sätta in något extremvärde. För y=0 i ellipsen, längst ut till höger. ska ellipsens ekvation ge 2, alltså

$x^2+2y^2=2$

$(r\cos(\theta))^2+2\cdot 0 =2$

Och med $\theta=0$ uppnår vi bara det om $r=\sqrt{2}$

Om vi däremot använder din parameterframställning $x=\sqrt 2 \cos(\theta)$ får vi (då y=0 längst ut till höger)

$x^2+2y^2=(\sqrt 2 r \cos( \theta))^2=2r^2$

Vilket ger 2 om $r=1$, alltså ska $r$ gå från $0$ till $1$ i din parameterframställning.

Ah okej jag fattar. Stort tack för all hjälp!!