flervarre, dubbellintegral
Jag väljer att gå över till polära koordinater och eftersom E är en ellipsskiva räknar jag ut skalfaktorn för den som blir . Alltså . Givet att:
Men det är inte där skon klämmer. För när jag för över funktionen som ska integreras till polära koordinater får jag en väldigt skum funktion som jag undrar ifall det är rätt:
Den här integralen ser väl lite väl jobbig ut att integrera eller? Går den att förenkla ytterligare eller har jag rent av gjort fel någonstans i beräkningen?
Det ser bra ut, utnyttja nu (eller redan tidigare i beräkningen) att området är symmetriskt och att delar av integranden är udda. Det städar upp integralen ganska ordentligt!
Vad får du kvar? Kan du lösa den integralen?
D4NIEL skrev:Det ser bra ut, utnyttja nu (eller redan tidigare i beräkningen) att området är symmetriskt och att delar av integranden är udda. Det städar upp integralen ganska ordentligt!
Vad får du kvar? Kan du lösa den integralen?
Området är väl symmetriskt med avseende på både x och y? Fast jag ser inte hur funktionen är en udda funktion, gäller det inte att till ex f(-x,y) = -f(x,y)? Men det kan man väl inte säga här?
Redan tidigt i uppgiften kan du konstatera att
Termen är udda över y-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.
Termen är udda över x-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.
I det du har räknat fram just nu kan du konstatera att när vi snurrar ett helt varv. Detsamma gäller naturligtvis när vi snurrar ett helt varv.
Vad får du kvar då?
D4NIEL skrev:Redan tidigt i uppgiften kan du konstatera att
Termen är udda över y-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.
Termen är udda över x-axeln, vi har dessutom ett symmetriskt integrationsområde, alltså måste den termen ge det totala bidraget 0.
I det du har räknat fram just nu kan du konstatera att när vi snurrar ett helt varv. Detsamma gäller naturligtvis när vi snurrar ett helt varv.
Vad får du kvar då?
Ah man kan förstås dela upp funktionen, då fattar jag. Ja då bör man till slut vara kvar med
Ja det stämmer, och om man vill kan man skriva om den lite så kanske det blir lättare att känna igen;
Känner du igen standardintegralen? Det har något med att göra...
Edit: ändrade gränsen för . Intervallet för ska vara från till givet parameterframställningen.
D4NIEL skrev:Ja det stämmer, och om man vill kan man skriva om den lite så kanske det blir lättare att känna igen;
Känner du igen standardintegralen? Det har något med att göra...
Ah har det någat att göra med variabelsubstitution där du byter ut
Ja, så kan man göra. Kom ihåg att gränserna ändras om du gör en substitution.
Så vad landar du i för svar?
Edit: Och "standardintegralen" jag tänkte mig var
Huruvida det är standard kanske kan diskuteras :)
D4NIEL skrev:Ja, så kan man göra. Kom ihåg att gränserna ändras om du gör en substitution.
Så vad landar du i för svar?
Edit: Och "standardintegralen" jag tänkte mig var
Huruvida det är standard kanske kan diskuteras :)
Jag landar i
Ja, det stämmer med den övre gräns på jag råkade skriva i inlägg #6, men i din parameterframställning ska löpa från 0 till 1
dvs det ska bli
Ber om ursäkt för det. Är du med på det?
D4NIEL skrev:Ja, det stämmer med den övre gräns på jag råkade skriva i inlägg #6, men i din parameterframställning ska löpa från 0 till 1
dvs det ska bli
Ber om ursäkt för det. Är du med på det?
Du menar att r inte varierar mellan utan
Är det så alltid med när området är en ellips eftersom att man alltid vill få den på formen
Jag undrar för att om du kollar sista exemplet längs ner på https://www.ludu.co/course/flervarre/flervariabel-koordinatsystem
så ser du att gränsen för r går mellan trots att den är en ellips. Men det är möjligt att de löst den på ett annat sätt, eller?
Ja, det beror på hur du parametriserar. Om du t.ex. valt parameterframställningen
Hade gått mellan och . Dessutom hade jakobianen blivit
Du kan alltid kontrollera att det blir rätt genom att sätta in något extremvärde. För y=0 i ellipsen, längst ut till höger. ska ellipsens ekvation ge 2, alltså
Och med uppnår vi bara det om
Om vi däremot använder din parameterframställning får vi (då y=0 längst ut till höger)
Vilket ger 2 om , alltså ska gå från till i din parameterframställning.
D4NIEL skrev:Ja, det beror på hur du parametriserar. Om du t.ex. valt parameterframställningen
Hade gått mellan och . Dessutom hade jakobianen blivit
Du kan alltid kontrollera att det blir rätt genom att sätta in något extremvärde. För y=0 i ellipsen, längst ut till höger. ska ellipsens ekvation ge 2, alltså
Och med uppnår vi bara det om
Om vi däremot använder din parameterframställning får vi (då y=0 längst ut till höger)
Vilket ger 2 om , alltså ska gå från till i din parameterframställning.
Ah okej jag fattar. Stort tack för all hjälp!!