flervarr. Arean av delen av cylindern som ligger ovanför konen

Börja med att rita och lägg upp bilden här.

ny bild på g

Titta på bilden i mitten. Försöker få fram ytan i första oktanten

Vilken är radien där konen och cylindern skär varandra? Vilket är z-värdet?

Smaragdalena skrev:

Vilken är radien där konen och cylindern skär varandra? Vilket är z-värdet?

Skärningspunkten fås när r=r, detta ger att z=2a*sinv.

Jag tolkar detta som att konen skär cylindern i cylinderns radie på 2a*sinv, rätt tankegång?

ett lösningsförslag säger att $dS=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{dv}\right)}^2}dv=2adv$, jag förstår inte riktigt hur de får denna formeln

Var har cylindern sin medelpunkt?

det vet jag inte, jag tänker mig att cylinders botten har sin mittpunkt i origo men det är inte det du frågar efter antar jag?

Jag förutsätter att frågan är "Bestäm arean av den del av cylindern som ligger utanför konen"

Det kommer bli svårt för dig att bestämma gränserna för ytintegralerna om du inte har en klar bild över hur området du vill beräkna ser ut. I det här fallet är det dessutom fördelaktigt om du inser symmetrin.

Börja därför med att få ordning på cylindern. I xy-planet bildar snittet en cirkel. Hade vi haft cylindern på formen

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$

Hade det varit enkelt att bestämma $R$ och $x_0$, $y_0$.

Kan du alltså genom kvadratkomplettering skriva om cirkeln i uppgiften på en mer naturlig form?

Sedan är en lösningsapproach att studera en projektion av (en symmetrisk del av) cylinderytan i yz-planet och hitta ett uttryck för x(y,z) som parametriserar ytan över denna del.

En annan (teoretiskt svårare) approach är att parametrisera cylindern i lämpliga koordinater och bestämma gränserna för denna yta.

Jag kan skriva om den som $x^2+{(y-a)}^2=a^2$, så centrum är i (0,-a) men om jag gör såhär så känns det som jag ändrar radien till a?

Förut fick jag $r=2a*\sin v$, detta borde vara parametrisering i lämåliga koordinater?

Efter diskussion med en kompis så kom vi fram till rätt svar.

Centrum för cylindern är (0,-a,z) eftersom ekvationen för cylindern kan skrivas om som $x^2+{(y-a)}^2=a^2$, radien=a i kartesiska koordinater.

I cylindriska koord fick vi att $r=2a*\sin v$.

Vi vet att arean begränsas av konen och r. dA=rdr dv. Från cylindern fick vi fram r i cylindriska koord. Det sätts in i integralen.

Integralen har gränserna inom första oktanten och multipliceras med 4 för att arean rör sig kring 4 oktanter, positivt x- och y-led samt både negativt och positivt z-led.

$dS=4{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{2a}rdrdv=4\iint 2a*\sin v drdv=4\int {{\left[r*2a*\sin v\right]}^{2a}}_0=4*4a^2{{\left[-\cos v\right]}^{\pi /2}}_0=16a^2$ sq. units

Mja, konen har sitt centrum i (0,a) i xy-planet, inte (0,-a).

Figuren visar den polära plotten $r=2a\sin(\theta),\quad 0<\theta<\pi$

Svaret ni fått, $16a^2$ är korrekt. Men jag är inte helt övertygad om hur ni kom fram till det.

Uppgiften går ut på att beräkna den del av den blå ytan (mantelytan av cylindern) som ligger utanför konen.

Håller med Jroth. Det går inte att begripa vad ni gör. Kanske ni bara har tur och får rätt svar.

Man kan tex uttrycka ytans area som en kurvintegral över cirkeln i Jroths figur.

S = ${\oint }_{C}2r\left|d\overrightarrow{r}\right| = {\oint }_{C}2r\sqrt{{\left(dr\right)}^2+r^2{\left(d\theta \right)}^2}={\int }_0^{\mathrm{\pi }}2r\left(\theta \right)\sqrt{r{\left(\theta \right)}^2+{\left(\frac{dr\left(\theta \right)}{d\theta }\right)}^2}d\theta$, där

$r\left(\theta \right)=2a\sin \left(\theta \right)$.

Jroth skrev:

Mja, konen har sitt centrum i (0,a) i xy-planet, inte (0,-a).

Figuren visar den polära plotten $r=2a\sin(\theta),\quad 0<\theta<\pi$

Svaret ni fått, $16a^2$ är korrekt. Men jag är inte helt övertygad om hur ni kom fram till det.

Uppgiften går ut på att beräkna den del av den blå ytan (mantelytan av cylindern) som ligger utanför konen.

Så har jag gjort fel i omskrivningen av $x^2+y^2=2ay till x^2+{(y-a)}^2=a^2?$, Radien är ju a, jahaa, ska jag sätta parantesen lika med 0 och sen bryta ut y?

Annars är jag osäker på hur ni får fram att centrum för y är positivt a..

Vår figur är samma som din, så vi tänkte enligt figuren när vi gjorde beräkningen

Av symmetri spelar det ingen roll var ni lägger centrum, men en cirkel med ekvationen $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=a^2$ har radien a och dess centrum är belägen i punkten $(+x_0, +y_0)$. Här är ett exempel med det jag tror ni menar med $\mathrm{d}A$

En parameterframställning för cylindern är $\mathbf{r}(\theta, z)=2a\sin(\theta)\hat{\rho}+z\hat{z}$, där $\theta$ går från $0$ till $\pi$ enligt figuren ovan. Cylindern skär konen precis då $z^2=\rho^2$, dvs då $z=\pm 2a\sin(\theta)$. Alltså är arean

$\displaystyle \int_A \mathrm{d}A=\iint_D |\mathbf{r}^'_\theta\times \mathbf{r}^'_z|\,\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=\int_{\theta=0}^\pi\int_{z=-2a\sin(\theta)}^{2a\sin(\theta)}2a\,\mathrm{d}\theta \mathrm{d}z=16a^2$