Flervariabelsanalys transformationfråga

Tror att det enklaste är att uttrycka

$\dfrac{\partial}{\partial x}$

och

$\dfrac{\partial}{\partial y}$

i 

$\dfrac{\partial}{\partial r}$

och

$\dfrac{\partial}{\partial \theta}$

Dr. G skrev:

Tror att det enklaste är att uttrycka

$\dfrac{\partial}{\partial x}$

och

$\dfrac{\partial}{\partial y}$

i 

$\dfrac{\partial}{\partial r}$

och

$\dfrac{\partial}{\partial \theta}$

Så d/dr är vadå och d/vinkel

Kedjeregeln ger

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$

Vad blir 

$\dfrac{\partial r}{\partial x}=\ldots$

$\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=\ldots$

?

(och motsvarande för y-derivatan)

Dr. G skrev:

Kedjeregeln ger

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$

Vad blir 

$\dfrac{\partial r}{\partial x}=\ldots$

$\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=\ldots$

?

(och motsvarande för y-derivatan)

Det blir väl cos0 och sen -rsin0

Sen sin0 och rcos0

Blir inte 

$\dfrac{\partial\theta}{\partial x}=-\dfrac{\sin \theta}{r}$

?

Dr. G skrev:

Blir inte 

$\dfrac{\partial\theta}{\partial x}=-\dfrac{\sin \theta}{r}$

?

Hm jag är väldigt förvirrad nu på deriveringen.  Hänger ej med på vad som är vad tyvärr :) jag hänger ej med på transformationen heller. 

$x = r\cos \theta$

och

$y = r\sin \theta$

ger att

$r^2=x^2+y^2$

och

$\tan \theta =\dfrac{y}{x}$

Nu kan du hitta de sökta partiella derivatorna.

Tillägg: 6 feb 2023 23:32

Här kan du se en lösning åt "andra" hållet. Det kanske är smidigare.