Flervariabelsanalys, partiella derivator

Du har att 

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$

du/dx etc. kan du räkna ut. Hur blir då andraderivatorna?

Dr. G skrev:

Du har att 

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial u}\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial f}{\partial v}\dfrac{\partial v}{\partial x}$

du/dx etc. kan du räkna ut. Hur blir då andraderivatorna?

Var tolkningen jag gjorde korrekt till att börja med? 

Matfer skrev:

Det jag tänker mig är att man sätter:

u = cos0x - sin0y samt v = sin0x + cos0y och man får såldes f(u,v) = (cos0x-sin0y , sin0x + cos+y)

Då blri det i princip som så att f(u,v) = (u(x,y), v(x,y))

Det saknas  ett f på sina ställen. 

$u(x,y)= x\cos \theta -y\sin \theta$

$v(x,y) = x\sin\theta+y\cos \theta$

Då är 

$f(u,v) = f(x\cos \theta -y\sin \theta,x\sin\theta+y\cos \theta)$

Derivera f(u,v) m.a.p x två gånger. Använd  kedjeregeln. Förenkla.  Derivera m.a.p y två gånger. Förenkla. Lägg ihop. 

Dr. G skrev:

$f(u,v) = f(x\cos \theta -y\sin \theta,x\sin\theta+y\cos \theta)$

Derivera f(u,v) m.a.p x två gånger. Använd  kedjeregeln. Förenkla.  Derivera m.a.p y två gånger. Förenkla. Lägg ihop. 

Hej, jag förstår inte riktigt vart man ska hitta sin funktion f ifrån? Är detta något man hittar utifrån matrisekvationen eller är tanken att man endast ska derivera uttrycken för u och v?

f är vilken funktion som helst av två variabler, med kravet att den är två gånger deriverbar.

df/dx, etc, går alltså inte att förenkla. Man kan däremot hitta samband mellan df/dx och df/dy, och derivatorna i de transformerade koordinaterna df/du och df/dv. 

Dr. G skrev:

f är vilken funktion som helst av två variabler, med kravet att den är två gånger deriverbar.

df/dx, etc, går alltså inte att förenkla. Man kan däremot hitta samband mellan df/dx och df/dy, och derivatorna i de transformerade koordinaterna df/du och df/dv. 

Okej då förstår jag. Tack så mycket för hjälpen!

Tja! Jag har nog löst den, fick fram att df^2 för x och y var 0 och samma sak med u och v. Lite osäker dock med sambandet av u och v, jag satte upp dessa i ett ekvationssystem och löste ut x, y genom reducerad trappstegsmatris, samt deriverade dessa två gånger också. Båda leden blev 0.

Matfer skrev:

Tja! Jag har nog löst den, fick fram att df^2 för x och y var 0 och samma sak med u och v. Lite osäker dock med sambandet av u och v, jag satte upp dessa i ett ekvationssystem och löste ut x, y genom reducerad trappstegsmatris, samt deriverade dessa två gånger också. Båda leden blev 0.

Ok, då undrar jag vad du har gjort. Fick du alltså fram att

$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$

för godtycklig två gånger deriverbar f(x,y)? Det kan ju inte gärna stämma. Kanske missförstod jag vad du skrev. 

Det blev en lång uträkning haha, men jag deriverade uttrycken 2 gånger för sinus och cosinus i f(x,y).

Jag fick fram att:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=(0,0) = \frac{\partial f^2}{\partial u^2}+\frac{\partial f^2}{\partial v^2}$

Jag fick att 

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\cos^2 \theta \dfrac{\partial^2 f}{\partial u^2} +2\sin\theta \cos\theta \dfrac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+\sin^2 \theta \dfrac{\partial^2 f}{\partial v^2}$

där jag förutsatte att de två blandade andraderivatorna är lika.

Alright, kan man genom det du fick visa att 

uttrycken för df/dx + df/dy = df/du + df/dv?

Var väldigt osäker på hur jag skulle visa denna ekvivalens.

Man får ett likande uttryck för andraderivatan m.a.p y. När de läggs ihop så blir det summan av de rena andraderivatorna m.a.p u och v!

Dr. G skrev:

Man får ett likande uttryck för andraderivatan m.a.p y. När de läggs ihop så blir det summan av de rena andraderivatorna m.a.p u och v!

Alright, jag fattar vad du menar nu, löste uppgiften!

Tack för hjälpen