Flervariabelsanalys extremvärdeproblem

destiny99 skrev:

Hej!

I fråga 8 så får jag kritik punkt på (0,0) och minsta värde på -1, men hittar ej största värde. Parametriserade andra funktionen x^2+y^2

Punkten (0,0) ligger väl inte på kurvan?

Smaragdalena skrev:

destiny99 skrev:

Hej!

I fråga 8 så får jag kritik punkt på (0,0) och minsta värde på -1, men hittar ej största värde. Parametriserade andra funktionen x^2+y^2

Punkten (0,0) ligger väl inte på kurvan?

Varför skulle den ej ligga på kurvan?

Börja med att rita upp kurvan,, det är en ellips.

D4NIEL skrev:

Börja med att rita upp kurvan,, det är en ellips.

Kurvan x^2+2y^2=1?

Ja,

destiny99 skrev:

D4NIEL skrev:

Börja med att rita upp kurvan,, det är en ellips.

Kurvan x^2+2y^2=1?

Ja, naturligtvis, det är ju den kurvan du skall undersöka. 

D4NIEL skrev:

Ja,

Dina axlar ger en lite skev bild av ellipsen,

Men det borde iaf framgå att punkten (0,0) inte ligger på den blå kurvan ovan.

Funktionen $f(x,y)=x^2+y^2$ är avståndet till centrum i kvadrat. Det innebär att vi trivialt ser att det maximala avståndet är den långa halvaxeln i kvadrat $1^2$, dvs $f_{max}=1$

Det minsta avståndet til origo på kurvan är den lilla halvaxelns längd i kvadrat, dvs $\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2=\frac12$. Så $f_{min}=\frac12$

Om man inte inser det kan man parametrisera ellipsen och sedan studera derivatan av $f$.

Du behöver också fundera över varför vi kan vara säkra på att det finns ett max- och ett minvärde.

D4NIEL skrev:

Dina axlar ger en lite skev bild av ellipsen,

Men det borde iaf framgå att punkten (0,0) inte ligger på den blå kurvan ovan.

Funktionen $f(x,y)=x^2+y^2$ är avståndet till centrum i kvadrat. Det innebär att vi trivialt ser att det maximala avståndet är den långa halvaxeln i kvadrat $1^2$, dvs $f_{max}=1$

Det minsta avståndet til origo på kurvan är den lilla halvaxelns längd i kvadrat, dvs $\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)^2=\frac12$. Så $f_{min}=\frac12$

Om man inte inser det kan man parametrisera ellipsen och sedan studera derivatan av $f$.

Du behöver också fundera över varför vi kan vara säkra på att det finns ett max- och ett minvärde.

Ja jag paramitiserade till x= cost och sedan y =sint/sqrt(2) 

Cos^2t+sin^2t=1

Derivatan ger 

-2sint+2cost=0

1=tant

Pi/4+n*pi

max kommer bli 1. Men hur får jag min?

Det är funktionen $f(t)$ vi söker, och det är $f(t)$ som ska deriveras. Nu har du deriverat området (ellipsen).

D4NIEL skrev:

Det är funktionen $f(t)$ vi söker, och det är $f(t)$ som ska deriveras. Nu har du deriverat området (ellipsen).

Vilken är f(t)?

$f(x,y)=x^2+y^2$

Använd din parametrisering för att uttrycka $f(t)$

D4NIEL skrev:

$f(x,y)=x^2+y^2$

Använd din parametrisering för att uttrycka $f(t)$

Aa det blir cos^2(t)+sint^2(t)/2=1

-2sin^t+cos^t=0

cos^t=2sint

1/2=tant

Du måste skilja på området (som i det här fallet är en kurva, en ellips som ges av $x^2+2y^2=1$) och funktionen $f(x,y)$.

Det man letar efter är de punkter på den blå kurvan där funktionen $f(x,y)$ är som störst eller som minst.

Du ska alltså inte sätta funktionen till 1 som du gjorde ovan. Du slarvade också lite med uträkningen.

$f(t)=\cos^2(t)+\frac{1}{2}\sin^2(t)=\frac12 +\frac12\cos^2(t)$

$f^\prime(t)=-\cos(t)\sin(t)$

$f^\prime(t)=0\implies t=n\frac{\pi}{2},\quad n\in \mathbb Z$

D4NIEL skrev:

Du måste skilja på området (som i det här fallet är en kurva, en ellips som ges av $x^2+2y^2=1$) och funktionen $f(x,y)$.

Det man letar efter är de punkter på den blå kurvan där funktionen $f(x,y)$ är som störst eller som minst.

Du ska alltså inte sätta funktionen till 1 som du gjorde ovan. Du slarvade också lite med uträkningen.

$f(t)=\cos^2(t)+\frac{1}{2}\sin^2(t)=\frac12 +\frac12\cos^2(t)$

$f^\prime(t)=-\cos(t)\sin(t)$

$f^\prime(t)=0\implies t=n\frac{\pi}{2},\quad n\in \mathbb Z$

Tyvärr förstår jag ej din uträkning eller vad man i det här fallet syftar på.  Jag förstår ej heller vad det är du deriverar eller gör. jag tar med uppgiften till övningassistent istället idag. 

Blev det klarare när du pratat med din övningsassistent?

Det verkar som om du inte har förstått vad det är man frågar efter. Man har en funktion f(x,y) = x²+y² men den är inte aktuell överallt, bara på kurvan x²+2y² = 1, d v s en viss ellips. Alla punkter som ligger på ellipsen kan beskrivas som x = cos(t), y = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sin(t) (där t är en parameter, d v s om parametern antar alla tänkbara olika värden så kommer man att få med hela ellipsen, och i det här fallet räcker det att t får anta alla värden från 0 till $2\pi$, sedan börjar det upprepa sig), d v s med en enda variabel (i stället för 2) och då blir det mycket enklare att derivera! Om vi skall ha nytta av detta behöver vi ersätta x och y i funktionen f(x,y) = x²+y² med samma värden fastän uttryckta med hjälp av t, d v s f(t) = (cos(t))²+( $\frac{1}{\sqrt{2}}$sin(t))². Det är detta som D4NIEL har gjort i sitt senaste inlägg, samt deriverat funktionen f(t), satt derivatan lika med 0 och löst ekvationen.

Smaragdalena skrev:

Blev det klarare när du pratat med din övningsassistent?

Det verkar som om du inte har förstått vad det är man frågar efter. Man har en funktion f(x,y) = x²+y² men den är inte aktuell överallt, bara på kurvan x²+2y² = 1, d v s en viss ellips. Alla punkter som ligger på ellipsen kan beskrivas som x = cos(t), y = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sin(t) (där t är en parameter, d v s om parametern antar alla tänkbara olika värden så kommer man att få med hela ellipsen, och i det här fallet räcker det att t får anta alla värden från 0 till $2\pi$, sedan börjar det upprepa sig), d v s med en enda variabel (i stället för 2) och då blir det mycket enklare att derivera! Om vi skall ha nytta av detta behöver vi ersätta x och y i funktionen f(x,y) = x²+y² med samma värden fastän uttryckta med hjälp av t, d v s f(t) = (cos(t))²+( $\frac{1}{\sqrt{2}}$sin(t))². Det är detta som D4NIEL har gjort i sitt senaste inlägg, samt deriverat funktionen f(t), satt derivatan lika med 0 och löst ekvationen.

Ja det blev klarare eftersom jag missuppfattade en del grejer.