Flervariabelsanalys - derivering av arctan(y/x)

Vill du derivera med avseende på x eller y eller något annat?

PhilipL skrev:

Det var länge sedan jag räknade sånt här och tror jag blandar ihop deriveringsreglerna.

Jag vet: $arc\tan \left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$, $D\left(fg\right) =\hspace{0.17em}f\text{'}g+fg\text{'}$

Dessa två räkneregler har jag försökt använda såhär:

$arc\tan \left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+{\left(-{\displaystyle \frac{y}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2}\left(-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x}\right)$

$=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2y}{x^3}}+{\displaystyle \frac{y^2}{x^4}}}$

$=\frac{{\displaystyle \frac{x-y}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^4+x^2-2yx+y^2}{x^4}}}$

$=\frac{x^2\left(x-y\right)}{x^4+x^2-2yx+y^2}$

Men härifrån kommer jag ändå inte rätt, tror jag gör någonting fel!

Tacksam för svar!

Om $y=y(x)$ och du vill derivera m.a.p. x så gäller att $D(\frac{y}{x})=y'\frac{1}{x}-y\frac{1}{x^2}=\frac{xy'-y}{x^2}$. Detta är alltså inre derivatan.

Yttre derivatan är ju $\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}$.

Sätt ihop och förenkla.

Laguna skrev:

Vill du derivera med avseende på x eller y eller något annat?

Ska derivera m.a.p. både x och y och sedan utvärdera i punkten $\left(-1, 1\right)$

Yngve skrev:

PhilipL skrev:

Det var länge sedan jag räknade sånt här och tror jag blandar ihop deriveringsreglerna.

Jag vet: $arc\tan \left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$, $D\left(fg\right) =\hspace{0.17em}f\text{'}g+fg\text{'}$

Dessa två räkneregler har jag försökt använda såhär:

$arc\tan \left(\frac{y}{x}\right) =\frac{1}{1+{\left(-{\displaystyle \frac{y}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2}\left(-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{x}\right)$

$=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{2y}{x^3}}+{\displaystyle \frac{y^2}{x^4}}}$

$=\frac{{\displaystyle \frac{x-y}{x^2}}}{{\displaystyle \frac{x^4+x^2-2yx+y^2}{x^4}}}$

$=\frac{x^2\left(x-y\right)}{x^4+x^2-2yx+y^2}$

Men härifrån kommer jag ändå inte rätt, tror jag gör någonting fel!

Tacksam för svar!

Om $y=y(x)$ och du vill derivera m.a.p. x så gäller att $D(\frac{y}{x})=y'\frac{1}{x}-y\frac{1}{x^2}=\frac{xy'-y}{x^2}$. Detta är alltså inre derivatan.

Yttre derivatan är ju $\frac{1}{1+(\frac{y}{x})^2}$.

Sätt ihop och förenkla.

ah, så jag tar den inre derivatan för tidigt? då testar jag igen!

Nu löste jag det så lägger upp mitt svar:

Funktionen måste deriveras två gånger, en gång m.a.p. x och en gång m.a.p. y. 

$f_1=\frac{d}{dx}\left(arc\tan \frac{y}{x}\right)=\left(\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}*\left(-\frac{y}{x^2}\right)\right) = \left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)$

$f_2=\frac{d}{dy}\left(arc\tan \frac{y}{x}\right)=\left(\frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)}^2}*\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\left(\frac{x}{x^{2+y^2}}\right)$

I punkten (-1, 1) får vi att: $f_1=\left(-\frac{1}{2}\right)$, $f_2=\left(-\frac{1}{2}\right)$

PhilipL skrev:

Nu löste jag det så lägger upp mitt svar:

Funktionen måste deriveras två gånger, en gång m.a.p. x och en gång m.a.p. y. 

$f_1=\frac{d}{dx}\left(arc\tan \frac{y}{x}\right)=\left(\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{y}{x^2}}}*\left(-\frac{y}{x^2}\right)\right) = \left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)$

$f_2=\frac{d}{dy}\left(arc\tan \frac{y}{x}\right)=\left(\frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{y}{x}}\right)}^2}*\left(\frac{1}{x}\right)\right)=\left(\frac{x}{x^{2+y^2}}\right)$

I punkten (-1, 1) får vi att: $f_1=\left(-\frac{1}{2}\right)$, $f_2=\left(-\frac{1}{2}\right)$

Aha. Partiella derivator. Det borde jag ha anat.

Då stämmer dina derivator så när som på att du skrev fel på $(y/x)^2$-termen i täljaren $f_1$.

För att förenkla deriveringen kan man utnyttja identiteten

    $\arctan z + \arctan \frac{1}{z} = \frac{\pi}{2}$ om $z>0$ (det är $-\pi/2$ om $z<0$)

så att derivera $\arctan\frac{y}{x}$ med avseende på $x$ (jobbigt med tanke på inre derivatan) är samma sak som att derivera $\frac{\pi}{2} - \arctan \frac{x}{y}$ med avseende på $x$. 

    $D_x\arctan \frac{y}{x} = 0-D_x\arctan\frac{x}{y} = -\frac{1}{1+x^2/y^2}\cdot\frac{1}{y} = -\frac{y}{y^2+x^2}.$