Flervariabelsanalys, de sökta punkterna

Ja, men det blir mindre krångligt om du utnyttjar att du lika gärna kan derivera kvadraten av farten. När kvadraten av farten är störst är också farten störst.

Laguna skrev:

Ja, men det blir mindre krångligt om du utnyttjar att du lika gärna kan derivera kvadraten av farten. När kvadraten av farten är störst är också farten störst.

Hur menar du derivera kvadraten av farten? Vilken sats säger att när kvadraten av farten är störst är farten också störst?

Det är ett vanligt "trick". Om det finns någon sats som passar vet jag inte.

Du kan också strunta i detta och använda de vanliga deriveringsreglerna. Du vill sätta uttrycket till noll så det är bara täljaren som är intressant.

Laguna skrev:

Det är ett vanligt "trick". Om det finns någon sats som passar vet jag inte.

Du kan också strunta i detta och använda de vanliga deriveringsreglerna. Du vill sätta uttrycket till noll så det är bara täljaren som är intressant.

Aha okej. Så jag deriverar som vanligt roten ur allt det där och sen sätter lika med 0?

Ja.

destiny99 skrev:

Laguna skrev:

Ja, men det blir mindre krångligt om du utnyttjar att du lika gärna kan derivera kvadraten av farten. När kvadraten av farten är störst är också farten störst.

Hur menar du derivera kvadraten av farten? Vilken sats säger att när kvadraten av farten är störst är farten också störst?

Det följer av att funktionen x $\mapsto$ x² är en strikt växande funktion då x är större än eller lika noll. Om |r’(t)| är max då t = t_max så är |r’(t)|² max då t = t_max.

Vi hade liknande fråga i annan tråd.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Ja, men det blir mindre krångligt om du utnyttjar att du lika gärna kan derivera kvadraten av farten. När kvadraten av farten är störst är också farten störst.

Hur menar du derivera kvadraten av farten? Vilken sats säger att när kvadraten av farten är störst är farten också störst?

Det följer av att funktionen x $\mapsto$ x² är en strikt växande funktion då x är större än eller lika noll. Om |r’(t)| är max då t = t_max så är |r’(t)|² max då t = t_max.

Ah okej såhär får jag efter derivering. Hur går jag vidare?

Max/min-värden brukar antas då derivatan blir noll.

Glöm inte triggformeln: 2cos(v)sin(v) = sin(2v).

PATENTERAMERA skrev:

Max/min-värden brukar antas då derivatan blir noll.

Glöm inte triggformeln: 2cos(v)sin(v) = sin(2v).

Aha okej så 4sin(2v)cos(2v)=2sin(2v)?

= 2sin(4v).

PATENTERAMERA skrev:

= 2sin(4v).

Oj varför är det så?

Formeln för dubbla vinkeln.

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

PATENTERAMERA skrev:

Formeln för dubbla vinkeln.

sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Aa så klart ,men vi  har 4sin2vcos2v?

Sätt 2v = x om du inte ser det.

PATENTERAMERA skrev:

Sätt 2v = x om du inte ser det.

Okej då har vi sin(2*2v)=sin(4v)?

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Hej!

Såhär fick jag men facit säger emot mig. Varför?

$\sin(4\pi t) = 0$ har ju lösningen t = 0 också.

Laguna skrev:

$\sin(4\pi t) = 0$ har ju lösningen t = 0 också.

Yes t=0 och t=1/4. Men varför får facit 0+-2??

Har du en bild på facit?

Laguna skrev:

Har du en bild på facit?

Här. 

Du har att möjliga tidpunkter för max eller min ges då

sin(4$\pi$t) = 0, vilket ger att

4$\pi t$= n$\pi$,

Vilket innebär att 2$\pi t$= n$\pi /2$.

Möjliga max/min på farten värden ges då. 

r’ = (-6(pi)sin(n(pi)/2), 4(pi)cos(n(pi)/2)). Där n är heltal.

Dvs vi har max fart då 

r’ = ($\pm$6(pi), 0) => |r’| = 6(pi).

Och vi har min fart då

r’ = (0, $\pm$4(pi)) => |r’| = 4(pi).

I den tidigare tråden visade vi även alternativ lösning som kan vara av intresse.

PATENTERAMERA skrev:

Du har att möjliga tidpunkter för max eller min ges då

sin(4$\pi$t) = 0, vilket ger att

4$\pi t$= n$\pi$,

 

Möjliga max/min på farten värden ges då. 

r’ = (-6(pi)sin(n(pi)/2), 4(pi)cos(n(pi)/2)). Där n är heltal.

Dvs vi har max fart då 

r’ = ($\pm$6(pi), 0) => |r’| = 6(pi).

Och vi har min fart då

r’ = (0, $\pm$4(pi)) => |r’| = 4(pi).

I den tidigare tråden visade vi även alternativ lösning som kan vara av intresse.

Jag hänger ej med nu. Hur får du 2pit=n*pi/2? Resterande hänger jag ej heller med på.

sin(x) = 0 har lösningen x = n$\pi$, eller hur? Kolla enhetscirkel.

Då har sin(4$\pi$t) = 0 lösningen $4\pi t=n\pi$. Och om vi delar båda sidor med 2 så får vi att $2\pi t=\frac{n\pi }{2}$ (1).

Vi har enligt tidigare att v = r’ = $2\pi \left(-3\sin \left(2\pi t\right), 2\cos \left(2\pi t\right)\right)$.

Stoppar in $2\pi t=0$ (n = 0 i (1)) och får då

v = (0, 4$\pi$).

Vi sätter in $2\pi t=\frac{\pi }{2}$ (n = 1 i (1)) och får då att

v = (-6$\pi$, 0).

Sedan kan du kolla själv vad v blir om du väljer n = 2 eller 3 i (1). 

Sedan får du lista när |v| är max och var på ellipsen som detta sker.

Den andra lösningen behöver du inte tänka på, det var bara ett alternativ för den som känner till skalärprodukten.