Flervariabelsanalys

Hej lund!

Som du skrev själv, du måste kolla :

• stationära punkterna (där partiella derivator är lika med noll samtidigt)
• randpunkter
• inre stationära punkter (där derivatan inte existerar)

Så om du börjar med att ta fram $\frac{\partial f}{\partial x}$ och $\frac{\partial f}{\partial y}$, hur ser de ut?

Största och minsta värde finns i punkter (x,y) som uppfyller något av följande kriterier

1) Funktionens partiella derivator är 0 i den punkten.

2) Funktionen har inte partiella derivator i den punkten.

3) Punkten ligger på områdets rand.

Du har redan börjat med 3, du vet att funktionen är ln(5)-x på randen. Vad är största och minsta värde för denna funktion på randen? ln(5)-x beror ju endast på x, så frågan blir: inom vilket intervall måste x ligga om x^2+y^2=4?

Men sedan måste du alltså även beta av 1) och 2).

Okej, om vi då börjar med den första gällande partiella derivator, jag har nu tagit fram dessa två

Nästa steg är hur jag ska räkna ut dessa = 0 när de båda innehåller två variabler x och y?

Men om du börjar med den andra då?

När blir $\frac{\partial f}{dy}=0$?

Den andra ekvationen är noll omm y = 0. Kan det vara till någon hjälp?

Så $y$ måste vara noll. Nu kan vi sätta in $y=0$ i första ekvationen ($\frac{\partial f}{\partial x}$)och lösa ut $x$.

Tack, jag satte in y = 0 i den första ekvationen och fick fram att x = 1. Alltså blir den stationära punkten (1 , 0), bör jag direkt fortsätta att hitta inre stationära punkter (där derivatan inte existerar) eller först bedöma om (1 , 0) är en max-eller minimipunkt?

Du måste först beräkna alla möjliga kandidater för att bedöma vilka är max eller min punkt, annars kan du inte jämföra.

Okej tack för informationen.

Nu stöter jag på problem med hur man ska gå tillväga för att hitta inre punkter som saknar derivata? Detta är ett steg som jag inte hittar när jag kollar på liknande frågor och skulle uppskatta om någon ville förklara hur man ska tänka.

Edit: Jag förstår nu att om funktionen är differentierbar så gör man inte detta steg då det inte finns några punkter som saknar en derivata. Men hur avgör man om funktionen är differentierbar? Det bör vara det första steget.

Då jag fastnade på ovanstående och inte lyckades komma vidare så valde jag att ta reda på punkterna på randen först. Efter endel undersökning så valde jag att parametisera till

x = 2cost
Där t är inom intervallet [0 , 2pi]
Funktionen på randen blir då ln(5)-2cost

Därefter resonerade jag att för att punkten ska vara så stor som möjligt på randen så måste cost vara lika med -1, och för att vara så liten som möjligt så måste cost vara lika med 1. Vilket innebär att x är -2 respektive 2.

Stämmer detta? Och om ja hur får jag ut värdet på y för att få fram själva punkten?

Du behöver inte parametrisera.

Du vet att f antar värdet ln(5) - x på randen, dvs då x är i intervallet [-2, 2].

Det är uppenbart att största värde (ln(5) +2) fås då x = -2 och minsta värde (ln(5) -2) fås då x = 2.

y-värdet får du från villkoret x² + y² = 4 på randen.

Du har visat att du har kontinuerliga partiella derivator överallt, så funktionen är differentierbar  överallt.

Ja, precis, som skrev Smutsmunnen i början, funktionen $ln(5)-x$ beror bara på $x$, och du har identifierad max och min värderna i intervallet $x= [-2,2]$.

Funktionen är deriverbar överallt eftersom $ln(1+x^2+y^2)$ är alltid definierad, för att $x^2+y^2$ är alltid lika med eller större än noll, och $x$ är en polynom dvs deriverbar överallt.

PS: bra jobbat ändå med parametrisering 👍🏾!

PATENTERAMERA skrev:

Du behöver inte parametrisera.

Du vet att f antar värdet ln(5) - x på randen, dvs då x är i intervallet [-2, 2].

Det är uppenbart att största värde (ln(5) +2) fås då x = -2 och minsta värde (ln(5) -2) fås då x = 2.

y-värdet får du från villkoret x² + y² = 4 på randen.

Du har visat att du har kontinuerliga partiella derivator överallt, så funktionen är differentierbar  överallt.

Okej tack så mycket, då bryter jag ut y från villkoret x² + y² = 4 och tar bort parametiseringen. Ser även nu att hur jag kan visa att jag har kontinuerliga derivator.

dajamanté skrev:

Ja, precis, som skrev Smutsmunnen i början, funktionen $ln(5)-x$ beror bara på $x$, och du har identifierad max och min värderna i intervallet $x= [-2,2]$.

Funktionen är deriverbar överallt eftersom $ln(1+x^2+y^2)$ är alltid definierad, för att $x^2+y^2$ är alltid lika med eller större än noll, och $x$ är en polynom dvs deriverbar överallt.

 

PS: bra jobbat ändå med parametrisering 👍🏾!

Tack så mycket dajamanté, då fick jag även svar på vad som räcker för att visa att funktionen är deriverbar överallt.

Tack 😃 Jag tar ändå bort parametriseringen i detta fall men det är bra att kunna till kommande uppgifter! 

Jag vill tacka alla för er hjälp, har fått en bra förståelse över denna uppgift nu!

I mitt sista steg ska jag nu bestämma största och minsta värde för funktionen utifrån de punkter jag har, jag tolkar det som att jag ska sätta in samtliga punkter i f(x,y) och därav läsa största och minsta värde, är det korrekt tolkat?

Jag har alltså sammanlagt tre stycken punkter att sätta in då, två från randen samt en stationär punkt.

Varsågod!

Ja, såhär burkade vi göra, beräkna alla möjliga min-max punkter och då jämföra de :)!