Flervariabelproblem: Temperaturförändring

Jag sitter och försöker lösa den här uppgiften. Jag vet att man får fram riktningen när den ökar som mest genom gradienten som i det här fallet blir (3,-1) och och beloppet av grad T beskriver hur mycket temperaturen ökar då. Men det jag inte förstår är hur man tar reda på hur temperaturen förändras om man flyttar sig från (1/2, 1/2) ett litet stycke s i riktning mot origo. Tänkte att man kunde använda sig av riktningsderivtan men vad ska man då använda för enhetsvektor? Eller kan man göra på något annat sätt?

Ja, du är inne på rätt spår. Temperaturförändringen i riktningen $\hat{r}$ ges av

$(\nabla T) \cdot\hat{r}$

Du behöver bestämma en enhetsvektor $\hat{r}$ som pekar mot origo från punkten. Börja med att bestämma en vektor som pekar åt rätt håll och normera den sedan så att den blir enhetslång. Slutligen bildar du skalärprodukten mellan riktningsvektorn du tagit fram och gradienten av fältet.

Notera också att skalärprodukten är störst när $\hat{r}$ är parallell med $\nabla T$ och noll då dess vektorer är vinkelräta. Härav följer att $\nabla T$ är riktad i den riktning där $T$ växter snabbast och att $\nabla T$ är vinkelrät mot nivåytan $T=konstant$ .

Jaha okej, då var jag på rätt spår! Hängde nog upp mig på att man skulle röra sig ett stycke s från origo! Så man kan tex ta vektorn r = (0,0)-(1/2,1/2) = (-1/2,-1/2) och normera den? För att sedan räkna ut riktningsderivatan?

Svara