Flervariabelanalys - Visa differentierbarhet genom definition

Tjena,

Jag ska visa att $f (x, y) = {(1 + x + 2 y)}^{2}$ är differentierbar i punkten $(1, - 1)$ genom definitionen.

Jag vill alltså visa att $f (h + a, k + b) - f (a, b) = A k + B h + ρ (h, k) \sqrt{k^{2} + h^{2}}$ där $(a, b) = (1, - 1)$ och $A, B \in ℝ$ .

Jag får att $f (1 + h, k - 1) - f (1, - 1) = 4 k^{2} + h^{2} + 4 k h$ men vet inte hur jag ska skriva om det så att jag har det på samma form som definitionen.

Skulle uppskatta lite vägledning :)

Om du räknat rätt så måste vi först ha A = B = 0.

Sedan måste vi ha att

$ρ (h, k) \sqrt{h^{2} + k^{2}} = 4 k^{2} + h^{2} + 4 h k$ ,

där $ρ (h, k)$ skall uppfylla

$\underset{(h, k) \to (0, 0)}{l i m} ρ (h, k) = 0 = ρ (0, 0)$ .

Kan du definiera $ρ (h, k)$ så att detta blir uppfyllt?

PATENTERAMERA skrev:
Om du räknat rätt så måste vi först ha A = B = 0.

Sedan måste vi ha att

$ρ (h, k) \sqrt{h^{2} + k^{2}} = 4 k^{2} + h^{2} + 4 h k$ ,

där $ρ (h, k)$ skall uppfylla

$\underset{(h, k) \to (0, 0)}{l i m} ρ (h, k) = 0 = ρ (0, 0)$ .

Kan du definiera $ρ (h, k)$ så att detta blir uppfyllt?

Okej, då är jag med. $ρ (h, k) = \frac{4 k^{2} + h^{2} + 4 h k}{{(h^{2} + k^{2})}^{1 / 2}}$ .

Byte till polära koordinater ger $ρ \to 0$ då $(h, k) \to (0, 0)$ , eftersom sin och cos är begränsade

Tror detta är rätt men bekräfta gärna, så avslutar jag tråden :), och tack för hjälpen såklart!

Ja, precis så tänkte jag också.

Svara

Visa senaste svar