Flervariabelanalys: varför kan man inte säga att kurvintegralen är 0?

Hej! Jag gjorde denna uppgift för någon vecka sedan och har haft i baktankarna ett tag nu, varför man inte kan tänka som jag gjorde när jag först löste den. Återkom idag, men jag förstår fortfarande inte riktigt hur man **inte** kan argumentera som jag gjorde.

Det första jag konstaterade var att vektorfältet är *konservativt*. Det gör även facit.

Men sedan var mitt argument: integralen av alla slutna kurvor $\mathcal S$ i ett vektorfält som är konservativt uppfyller ju $\oint_{\mathcal S} \vec F \cdot \vec{dr} = 0$. Då tänkte jag vidare att för att kraven i uppgiften ska gälla skulle man kunna använda parametriseringen

$\vec r(t)=(\cos(2\pi \cdot r), sin(2\pi \cdot r))$, vilket jag anser uppfyller 1), 2), och 3). Däremot anser ju facit helt klart något annat. Jag postar facit precis här nedanför.