Flervariabelanalys, värdemängd

Börja med att rita upp hur definitionsmängden ser ut. (Du verkar ha kommit på att det är en ellips. Hur är den orienterad? Vika är de största /minsta värdena som x respektive y kan ha?)

Att parametrisera ellipsen är en bra idé. Hur ser din parametrisering ut? Hur ser f(x,y) ut för ellipsens rand? Har funktionens derivata några nollställen?

Det kan också hända att de största/minsta värdena är någonstans inuti ellipsen. Vet du hur du hittar dem?

Ellipsen har halvaxlarna $\sqrt{2}$och 2 så på randen är väll x och y:s största värden +-2 och+-$\sqrt{2}$.

Parameterisereingen av ellipsen blir ju då : $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}\cos t\\ y=2 \sin t\end{array}\right.$där $0\le t\le 2\mathrm{\pi }$.

Så ska jag då leta alla kritiska, singulära och randpunkter för att hitta största/minsta värde? Och då utgör dem värdemängdens gränser?

Skriv om f(x,y) till f(t), derivera och sätt derivatan lika med 0. På så sätt tar du resa på störts/minsta värde på randen. Du behöver dessutom undresöka ellipsens inre.

Smaragdalena skrev:

Skriv om f(x,y) till f(t), derivera och sätt derivatan lika med 0. På så sätt tar du resa på störts/minsta värde på randen. Du behöver dessutom undresöka ellipsens inre.

Jag parametriserade ellipsen enligt ovan och satte in f(x,y) till f(t) men får ett uttryck som f'(t) = $-\sqrt{2}\sin t + 2\sqrt{2} \cos \left(2t\right)$

Hur hittar man när derivatan är noll till denna?

Både t och 2t som trigonometriska argument ser inte rätt ut.

Laguna skrev:

Både t och 2t som trigonometriska argument ser inte rätt ut.

Varför inte?

Det blir nån propeller eller solfjäder, inte en ellips.

Farbrorgul skrev:

Smaragdalena skrev:

Skriv om f(x,y) till f(t), derivera och sätt derivatan lika med 0. På så sätt tar du resa på störts/minsta värde på randen. Du behöver dessutom undresöka ellipsens inre.

Jag parametriserade ellipsen enligt ovan och satte in f(x,y) till f(t) men får ett uttryck som f'(t) = $-\sqrt{2}\sin t + 2\sqrt{2} \cos \left(2t\right)$

Hur hittar man när derivatan är noll till denna?

Jag får samma då f(x,y)=x+xy och f(x,y) =f ($\sqrt{2}\cos t, 2\sin t$)= $\sqrt{2}\cos t + 2\sqrt{2}\cos t \sin t =\sqrt{2}\cos t +\sqrt{2}\sin 2t$.

Men vet inte heller hur man ska hitta när den derivatan är noll!

Förlåt, jag hade fel. Jag missade att det var målfunktionen det handlade om, inte ellipsen.

Laguna skrev:

Förlåt, jag hade fel. Jag missade att det var målfunktionen det handlade om, inte ellipsen.

Ingen fara! Något tips på hur man kan tänka kring hur man kan få fram ett svar?

hejhopp1 skrev:

Laguna skrev:

Förlåt, jag hade fel. Jag missade att det var målfunktionen det handlade om, inte ellipsen.

Ingen fara! Något tips på hur man kan tänka kring hur man kan få fram ett svar?

Jag funderar nästan på om det inte är enklare att inte parametrisera, dvs. att bara använda sig av xy-planet.

cos(2t) = 1 - 2sin²(x), så det blir en andragradsekvation av det.

Laguna skrev:

cos(2t) = 1 - 2sin²(x), så det blir en andragradsekvation av det.

Ja men den andragradaren blir väldigt jobbig att lösa

Varför det?

Laguna skrev:

Varför det?

${\sin }^{2}t + \frac{\sin t}{4}-\frac{1}{2}=0$

Man kan sätta sin t = x och lösa den med pq men får ett väldigt konstigt svar. Eller har jag gjort fel innan?

Man kan använda implicit derivering av uttrycket för randkurvan 2x²+y²=4.

4x + 2yy’ = 0 => y’ = -2x/y.

$\frac{d}{dx}$(x+xy) = 1 + y + xy’ = 1 + y -2x²/y.

1 + y -2x²/y = 0

y + y² - 2x² = 0

y + y² + y² - 4 = 0

y² + y/2 - 2 = 0  $\Rightarrow$  y = $\frac{-1\pm \sqrt{33}}{4}$.

PATENTERAMERA skrev:

Man kan använda implicit derivering av uttrycket för randkurvan 2x²+y²=4.

4x + 2yy’ = 0 => y’ = -2x/y.

$\frac{d}{dx}$(x+xy) = 1 + y + xy’ = 1 + y -2x²/y.

1 + y -2x²/y = 0

y + y² - 2x² = 0

y + y² + y² - 4 = 0

y² + y/2 - 2 = 0  $\Rightarrow$  y = $\frac{-1\pm \sqrt{33}}{4}$.

Det blir i alla fall samma svar som Farbrorgul. Men inga trevliga siffror.