Flervariabelanalys stationära punkter/parametrisering
Uppgiften: Se på problemet att hitta största och minsta värde för funktionen som ges av f(x,y,z)=2x−y+z under bivillkoren x^ +y^2 +z^2 ≤1 och 2y≤1.
(a) Skissa området D som ges av bivillkoren.
(b) Sök stationära punkter till f i det inre av D.
(c) Sök möjliga extrempunkter på randen av D genom att parametrisera randen. (Tänk på att randen är en yta som består av två delar som skär varandra längs en cirkel. Parametrisera de två delarna för sig. Cirkeln kommer med som randen för båda delytorna.)
(d) Sök möjliga extrempunkter på randen av D med hjälp av Lagranges metod. (Precis som i (c) behöver båda delarna och deras skärning hanteras.)
På (a) förstår jag att området är en sfär med radien 1 som begränsas av y=1, men är osäker på hur y=1 ser ut i R^3.
På (b) kommer jag fram till att funktionen inte har några stationära punkter eftersom när man ser på gradienten kan den inte bli nollvektorn.
På (c) vet jag inte hur man ska parametrisera, misstänker att sfären ska bli till sfäriska koordinater eller polära koordinater men vet inte hur. Förstår inte riktigt problem där man ska söka extremvärden på en rand som är en cirkel eller sfär överhuvudtaget.
På (d) är jag helt borta, förstår ingenting.
y=1/2 är ett plan vinkelrätt mot y-axeln genom y=1/2.
Klotytan kan parametriseras med två vinklar, motsvarande longitud och latitud.
Planet kan parametriseras med x och z.
Tack för svaret men förstår fortfarande inte?
Slå upp "sfäriska koordinater" i din lärobok. Förstår du parametrisering? Planet parametriseras så här x=x, y=1/2, z=z.
Jag tror jag förstår parametrisering, man vill uttrycka koordinater i ett annat koordinatsystem? Planets parametrisering förstår jag, det är cirklar och sfärer jag fastnat på. Har lite svårt att se hur allt hänger ihop, när jag räknat uppgifter där man ska hitta extremvärden på randen har jag kollat randens största & minsta x respektive y-värden och sedan satt in det minsta & största x-värdet och låtit y-värdet variera och vice versa. T.ex om minsta x-värde är 0 sätter jag in f(0,y) vilket ger en ny funktion vilken jag deriverar och sedan sätter till 0 för att få fram intressanta punkter som man sedan ser vad de ger för värden i funktionen. Ska man göra så här också?
Man ska gå från x^2+y^2+z^2, är det bara att byta ut x, y, z mot motsvarande sfäriska koordinater? T.ex z =Rcos(phi)
