Flervariabelanalys, skum uppgift

Gällande fråga två: Det är möjligt, men inte nödvändigtvis. Ytan är densamma, men fältet är inte likadant överallt. Vi kan kika på vektorn i punkten $(1,1,1)$ – den vektorn är (1,1,1) – medan vektorn i $(1,1,2)$ är (1,1,2). Därför borde flödet bli annorlunda också. :)

Smutstvätt skrev:

Gällande fråga två: Det är möjligt, men inte nödvändigtvis. Ytan är densamma, men fältet är inte likadant överallt. Vi kan kika på vektorn i punkten $(1,1,1)$ – den vektorn är (1,1,1) – medan vektorn i $(1,1,2)$ är (1,1,2). Därför borde flödet bli annorlunda också. :)

Stämmer det för b) att:

$$\begin{gathered} N = (-z_x,-z_y,1) = (-2x,-2y,1) \\ \iint (x,y,z)·N dxdy ) \iint (-2x^2-2y^2+z)dxdy = \iint -2r^2 rdrd\theta \\ -4\mathrm{\pi }{\int }_0^2{\mathrm{r}}^3 \mathrm{dr} = -4\mathrm{\pi }·4=-16\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Och för c)

$$\begin{gathered} N = (-z_x,-z_y,1) = (-2x,-2y,1) \\ \iint (x,y,z)·N dxdy ) \iint (-2x^2-2y^2+z)dxdy = \iint (-2r^2+1) rdrd\theta \\ \iint (-2r^3+r)drd\theta = 2\pi {\int }_0^2(-2r^3+r) dr = 2\mathrm{\pi }·-6=-12\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Jag håller med om att det saknas ett intervall i a). Men du kan alltid låtsas att du har ett intervall, förslagsvis från $z_0$ till $z_1$. Då kan vi kontrollera vårt resultat i övriga uppgifter med Gauss sats.

på b) är ju fältet $(x,y,0)$ och normalen till cirkelskivan är $\hat{z}=(0,0,1)$ (eventuellt med minustecken framför). Alltså måste det totala flödet vara 0. Jag förstår inte riktigt vad du gjort. Tänk på att $z(x,y)=0$

på c) gör du återigen något underligt, här är en tänkbar parametrisering $z(x,y)=1$ vilket ger ytelementet $d\mathbf{S}=\hat{z}dxdy$ och fältet är $(x,y,1)$ vilket ger flödet $4\pi$ (Arean av cirkelskivan).

Står nog bara fel på a) om det inte är implicit att du ska räkna ut per längdenhet (skulle jag gjort på en tenta).

Har du inte lösningsförslag eller åtminstone facit? Jag känner inte igen formatet från SF1626/1674, jag trodde du läste på KTH.

D4NIEL skrev:

Jag håller med om att det saknas ett intervall i a). Men du kan alltid låtsas att du har ett intervall, förslagsvis från $z_0$ till $z_1$. Då kan vi kontrollera vårt resultat i övriga uppgifter med Gauss sats.

på b) är ju fältet $(x,y,0)$ och normalen till cirkelskivan är $\hat{z}=(0,0,1)$ (eventuellt med minustecken framför). Alltså måste det totala flödet vara 0. Jag förstår inte riktigt vad du gjort. Tänk på att $z(x,y)=0$

på c) gör du återigen något underligt, här är en tänkbar parametrisering $z(x,y)=1$ vilket ger ytelementet $d\mathbf{S}=\hat{z}dxdy$ och fältet är $(x,y,1)$ vilket ger flödet $4\pi$ (Arean av cirkelskivan).

Okej tack för förklaring,

för a) gäller det att $$\begin{gathered} 0\le \mathit{r}\le 2 \\ 0\le \mathit{\theta }\le 2\mathrm{\pi } \\ {\mathrm{z}}_0\le \mathbf{z}\le {\mathrm{z}}_1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} r(\theta ,z) =\left(\cos \right(\theta ),\sin (\theta ),z) \\ {r}_z=(0,0,1) \\ {r}_{\theta }=(-\sin (\theta ),\cos (\theta ),0) \\ {r}_z\times r_{\theta }=\left(\cos \right(\theta ),\sin (\theta ),0) \\ \iint \left(\cos \right(\theta ),\sin (\theta ),z)·\left(\cos \right(\theta ),\sin (\theta ),0) \\ = \\ \iint 1dzd\theta =2\pi {\int }_{z_0}^{z_1} 1dz=2\mathrm{\pi }({\mathrm{z}}_1-{\mathrm{z}}_0) \end{gathered}$$

Dock misstänker ja att det de glömt lägga till ett intervall för z, uppgifterna burkar vara konstruerade på så vis att de ger intervall för z.

Men för b) och c)

Jag tänker rent intuitivt eller grafiskt,  vad avgör "mängden" flöde? Vektorfältet vad beskriver den egentligen om man tänker i termer av vatten som åker ut ur en vattenslang? Det måste ju vara nånting med en hastighet som det beskriver. Om man till exempel sätter z=2 då borde det innebära en högre hastighet vatten som åker ut ur slangen alltså ett större flöde. Och när z=0 så är liksom hastigheten 0 och alltså kommer det inte ut något vatten ur slangen. Eller är det fel tänkt?

Ebola skrev:

Står nog bara fel på a) om det inte är implicit att du ska räkna ut per längdenhet (skulle jag gjort på en tenta).

Har du inte lösningsförslag eller åtminstone facit? Jag känner inte igen formatet från SF1626/1674, jag trodde du läste på KTH.

Jag misstänker att de gjort fel, dessa uppgifter brukar vara ganska tydliga med vad som gäller, om det skulle vara implicit hade de sagt det, men ja man kan göra som du säger.

Och ja det är SF1626 men det är inte tenta-uppgifter så det finns inget facit eller lösningsförslag.

I din parametrisering av mantelytan har du missat att ta med radien $r=2$.

$\mathbf{r}(\theta,z)=(2\cos(\theta), 2\sin(\theta), z)$

$\mathbf{r}\prime_\theta\times \mathbf{r}\prime_z=4(\cos(\theta), \sin(\theta),0)$

$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=8\pi(z_1-z_0)$

Ja, du tänka dig fältet som ett flöde av vatten, eller ett energiflöde. Poängen är att den fysiska modellen av fältet du tänker dig i varje punkt ska ha en riktning och en storlek. dvs vara en vektor.

I varje punkt på ytan kan fältet delas upp i en mot ytan vinkelrät del samt en med ytan parallell del.

Att bilda en normalytintegral innebär att man samlar ihop bidraget från alla delar som är vinkelräta mot ytan (dvs flödar genom ytan). Det är alltså fältets normalkomponent på ytan som integreras.

Slutligen kan vi summera flödet ut genom botten $0$, ut genom locket $4\pi$ och ut genom mantelytan $8\pi$. Det totala utflödet genom ytan till den omslutna volymen är således $12\pi$.

Om ni gått igenom Gauss sats kan du notera att detta är samma sak som (med $\nabla \cdot \mathbf{F}=3)$

$\displaystyle \int_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \,dV=3(\pi r^2 h)=12\pi$

Ett pedagogiskt naturligt val av gränser i den första deluppgiften är därmed $0\leq z \leq 1$.

D4NIEL skrev:

I din parametrisering av mantelytan har du missat att ta med radien $r=2$.

$\mathbf{r}(\theta,z)=(2\cos(\theta), 2\sin(\theta), z)$

$\mathbf{r}\prime_\theta\times \mathbf{r}\prime_z=4(\cos(\theta), \sin(\theta),0)$

$\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=8\pi(z_1-z_0)$

Ja, du tänka dig fältet som ett flöde av vatten, eller ett energiflöde. Poängen är att den fysiska modellen av fältet du tänker dig i varje punkt ska ha en riktning och en storlek. dvs vara en vektor.

I varje punkt på ytan kan fältet delas upp i en mot ytan vinkelrät del samt en med ytan parallell del.

Att bilda en normalytintegral innebär att man samlar ihop bidraget från alla delar som är vinkelräta mot ytan (dvs flödar genom ytan). Det är alltså fältets normalkomponent på ytan som integreras.

Slutligen kan vi summera flödet ut genom botten $0$, ut genom locket $4\pi$ och ut genom mantelytan $8\pi$. Det totala utflödet genom ytan till den omslutna volymen är således $12\pi$.

Om ni gått igenom Gauss sats kan du notera att detta är samma sak som (med $\nabla \cdot \mathbf{F}=3)$

$\displaystyle \int_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \,dV=3(\pi r^2 h)=12\pi$

Ett pedagogiskt naturligt val av gränser i den första deluppgiften är därmed $0\leq z \leq 1$.

Du menar väl att flödet genom "locket" är $4\mathrm{\pi }$ och genom mantelytan är också $4\mathrm{\pi }$ . Sammanlagt blir flödet $8\mathrm{\pi }$ för en cylinder som omsluter en total area på $12\mathrm{\pi }$ men eftersom botten inte bidrar drar man bort $4\mathrm{\pi }$ alltså $12\mathrm{\pi }-4\mathrm{\pi }=8\mathrm{\pi }$.

Freedom hold skrev:

Du menar väl att flödet genom "locket" är $4\mathrm{\pi }$ och genom mantelytan är också $4\mathrm{\pi }$ . Sammanlagt blir flödet $8\mathrm{\pi }$ för en cylinder som omsluter en total area på $12\mathrm{\pi }$ men eftersom botten inte bidrar drar man bort $4\mathrm{\pi }$ alltså $12\mathrm{\pi }-4\mathrm{\pi }=8\mathrm{\pi }$

Nej, flödet ut genom mantelytan (om vi antar att cylindern är 1 le hög) är $8\pi(1-0)=8\pi$ och flödet genom locket är $4\pi$ (vid $z=1$). 

Gauss sats säger att vektorfältets flöde UT genom den omslutande ytan är samma sak som integralen av divergensen över den inneslutna volymen.  För att få en sluten volym måste vi ha med både lock, botten och mantelyta. Volymen av en sådan kropp ges av $V=\pi r^2h$. Divergensen är i vårt fall 3.

D4NIEL skrev:

Freedom hold skrev:

Du menar väl att flödet genom "locket" är $4\mathrm{\pi }$ och genom mantelytan är också $4\mathrm{\pi }$ . Sammanlagt blir flödet $8\mathrm{\pi }$ för en cylinder som omsluter en total area på $12\mathrm{\pi }$ men eftersom botten inte bidrar drar man bort $4\mathrm{\pi }$ alltså $12\mathrm{\pi }-4\mathrm{\pi }=8\mathrm{\pi }$

Nej, flödet ut genom mantelytan (om vi antar att cylindern är 1 le hög) är $8\pi(1-0)=8\pi$ och flödet genom locket är $4\pi$ (vid $z=1$). 

Gauss sats säger att vektorfältets flöde UT genom den omslutande ytan är samma sak som integralen av divergensen över den inneslutna volymen.  För att få en sluten volym måste vi ha med både lock, botten och mantelyta. Volymen av en sådan kropp ges av $V=\pi r^2h$. Divergensen är i vårt fall 3.

Det här kanske är en fråga om definition, men jag tolkar cylinderyta som ett rör och alltså utan lock och botten, det vill säga det som efterfrågas i fråga a) är egentligen endast mantelytan $8\mathrm{\pi }$ eller hur? Men man kallar det för cylinderyta för jag vill minnas att det är så det definieras, det har möjligen att göra med $x^2+y^2\mathbf{=}4$ dvs ytan inuti cirkeln räknas inte. Alltså går det inte att applicera gauss sats på denna uppgift för den förutsätter att botten och locket räknas.

En annan fundering: En cylinder som är 1l.e hög, där botten och toppen har en radie på 2 kommer generera en total ytarea på $12\pi$ enligt känd formel. Toppen och botten kommer ju bidra med $4\pi$ var. Kvar blir då $12\pi -2·4\mathrm{\pi }=4\pi$ som måste motsvara mantelytan. Varför blir det då $8\pi$ här i denna uppgift?

Varför skulle man inte skriva mantelyta om det är mantelyta man menar? En cylinder har två cirkulära, plana ytor och en krökt mantelyta.

Smaragdalena skrev:

Varför skulle man inte skriva mantelyta om det är mantelyta man menar? En cylinder har två cirkulära, plana ytor och en krökt mantelyta.

Såhär skrev en asse som hållit i kursen i flera år, det är angående en liknande uppgift och notera det han skrev angående cylinderyta

Freedom hold skrev:

dett här kanske är en fråga om definition, men jag tolkar cylinderyta som ett rör och alltså utan lock och botten, det vill säga det som efterfrågas i fråga a) är egentligen endast mantelytan $8\mathrm{\pi }$ eller hur? Men man kallar det för cylinderyta för jag vill minnas att det är så det definieras

Jag tolkar det som att du i uppgift a) ska beräkna flödet genom mantelytan, vilket är $8\pi$ om vi antar att vi ska betrakta cylindern $0\leq z \leq 1$. Mantelytans area är $\pi d h=4\pi$, vilket är något helt annat.

I uppgift a) beräknar vi alltså flödet genom mantelytan.

I uppgift b) beräknar vi flödet genom "botten"

I uppgift c) beräknar vi flödet genom "locket"

Tillsammans utgör mantelytan, botten och locket en sluten begränsningsyta som innesluter en volym. Vi kan därför applicera Gauss sats på detta område.

När jag läser det du skriver får jag en känsla av att du blandar ihop arean med flödet, samt att du blandar ihop volymsintegraler med ytintegraler.

D4NIEL skrev:

Freedom hold skrev:

dett här kanske är en fråga om definition, men jag tolkar cylinderyta som ett rör och alltså utan lock och botten, det vill säga det som efterfrågas i fråga a) är egentligen endast mantelytan $8\mathrm{\pi }$ eller hur? Men man kallar det för cylinderyta för jag vill minnas att det är så det definieras

Jag tolkar det som att du i uppgift a) ska beräkna flödet genom mantelytan, vilket är $8\pi$ om vi antar att vi ska betrakta cylindern $0\leq z \leq 1$. Mantelytans area är $\pi d h=4\pi$, vilket är något helt annat.

I uppgift a) beräknar vi alltså flödet genom mantelytan.

I uppgift b) beräknar vi flödet genom "botten"

I uppgift c) beräknar vi flödet genom "locket"

Tillsammans utgör mantelytan, botten och locket en sluten begränsningsyta som innesluter en volym. Vi kan därför applicera Gauss sats på detta område.

När jag läser det du skriver får jag en känsla av att du blandar ihop arean med flödet, samt att du blandar ihop volymsintegraler med ytintegraler.

aha ok tack, det var det jag misstänkte angående flöde och area.

Men så det stämmer alltså att cylinderyta kan användas synonymt med mantelyta. Det jag menade var att gauss sats inte kan appliceras på a) eftersom den inte inkluderar toppen och botten var min poäng. Ingen av dessa uppgifter efterfrågar det totala flödet $12\pi$ ,det var därför jag blev lite förvirrad när du pratade om gauss sats. Men jag förstår nu vad du menar.

När jag tittar på uppgiften så ser jag att man har definierat vad man menar med cirkelytan, och det är tydligen mantelytan man menar.