Flervariabelanalys, skalfaktor teori

Kort svar:  För att uträkningarna inte stämmer annars.

Om du ser till att byta tillbaka till originalvariablerna på slutet så kan du klara dig utan skalfaktor.

I ditt exempel behövs ingen skalfaktor eftersom du inte skalar om något. Koefficienterna framför u och v är 1

Om du däremot skalar om t.ex.

$x=2u$

$y=3v$

Så är $x$ och $y$ uttöjda i förhållande till $u$ och $v$. Då måste man kompensera med skalfaktorer när man beräknar en area eller en volym.

D4NIEL skrev:

I ditt exempel behövs ingen skalfaktor eftersom du inte skalar om något. Koefficienterna framför u och v är 1

Om du däremot skalar om t.ex.

$x=2u$

$y=3v$

Så är $x$ och $y$ uttöjda i förhållande till $u$ och $v$. Då måste man kompensera med skalfaktorer när man beräknar en area eller en volym.

x=2u så gäller det att när x=4 så är u=2

och y=3v så gäller det att när y=9 så är v=3.

Vilket innebär att även om de beskriver samma geometriska figur så är den figuren i (u,v) avsevärt mindre det är sedan det som kompenseras med skalfaktorn. Kan man tänka att skalfaktorn översätter tillbaka arean till (x,y) eftersom arean som ges i (u,v) egentligen inte är fel men man vill ju ha arean i det koordinatsystem man började med dvs (x,y)? För jag menar 1 area enhet i (u,v) är ju inte samma sak som 1 area enhet i (x,y).

Ja, det tycker jag är en rimlig tankemodell.

Vill man säga det lite snitsigare kan man formulera det som att den lokala areaförstoringen under en avbildning $\mathbf{\omega}\to \mathbf{T}(\omega)$ från $\mathfrak{T}_2$ till $\mathfrak{T}_2$ ges av absolutbeloppet av avbildningens funktionaldeterminant.

Men vill man vara mer exakt och mer generell (dvs hantera godtyckligt avgränsade områden i godtyckligt antal dimensioner) måste man använda lite mer avancerade metoder från differentialgeometrin.

D4NIEL skrev:

Ja, det tycker jag är en rimlig tankemodell.

Vill man säga det lite snitsigare kan man formulera det som att den lokala areaförstoringen under en avbildning $\mathbf{\omega}\to \mathbf{T}(\omega)$ från $\mathfrak{T}_2$ till $\mathfrak{T}_2$ ges av absolutbeloppet av avbildningens funktionaldeterminant.

Men vill man vara mer exakt och mer generell (dvs hantera godtyckligt avgränsade områden i godtyckligt antal dimensioner) måste man använda lite mer avancerade metoder från differentialgeometrin.

Nu blev jag lite nyfiken. Vet inte om du tagit en kurs i differentialgeometri, men om du gjort det skulle du säga att det är en fortsättning på flervariabel? Vad lär man sig i differentialgeometri?

Ber om ursäkt för att gå lite off-topic.

Differentialgeometri handlar om att generalisera och teoretisera  behandlingen av geometriska strukturer på differentierbara mångfalder. En geometrisk struktur är något som definierar till synes vardagliga rumsliga koncept som storlek, avstånd, form och volym.

Vad man lär sig i en kurs i differentialgeometri beror helt på kursens ambition och studenternas förkunskaper.

Visst kan man i viss mån se delar av differentialgeometrin som en fortsättning på flervariabel, främst när det gäller vektoranalys och Gaugeteori, fiberknippen, olika sorters derivator och fundamentala integralteorem, rummets krökning och torsion osv. Men man behöver förmodligen några kurser i t.ex. topologi och abstrakt algebra som mellansteg innan man kan tillgodogöra sig materialet. Om inte annat så för den matematiska mognadens skull.