Flervariabelanalys: riktningsderivata av en funktion och en fix punkt beroende på en vinkel

Det stämmer.

Riktningsderivatan är skalärprodukten av gradienten och en enhetsvektor i den givna riktningen.

Men att den bara blir asinθ+bcosθ vill jag inte tro. Kan en funktion z=f(x,y) inte bete sig mer exotiskt i en omgiving av (a,b) än såhär?

Nu hoppas jag att du inte menar bokstavligt $a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$ eftersom $\nabla f$ kan bli betydligt mer komplicerad än så.

Men jag reagerade på samma sätt som du första gången jag såg en riktningsderivata. Hur kan förändringen av f i samtliga riktningar bestämmas av en simpel skalärprodukt? Svaret får du om du försöker skapa en mer exotisk omgivning kring punkten samtidigt som du håller dig till reglerna, dvs f måste vara kontinuerlig och dess partiella derivator måste existera. Det ställer höga krav på hur f får uppföra sig i den direkta omgivningen till punkten.

Jo jag menar väldigt bokstavligt asinθ+bcosθ för en fix punkt och känd funktion det det ju det.

Qetsiyah skrev:

Jo jag menar väldigt bokstavligt asinθ+bcosθ för en fix punkt och känd funktion det det ju det.

Då måste du med fix punkt mena att $\nabla f(a,b)=(a,b)$, och det är ok :)

Ja oj nej hahaha jag såg inte det. Jag menar bara konstanter

Qetsiyah skrev:

Ja oj nej hahaha jag såg inte det. Jag menar bara konstanter.

Rent matematiskt är en fixpunkt $x_0=f(x_0)$, vad du menar med fix punkt är fortfarande oklart för mig .

Men allmänt gäller att riktningsderivatan ges av $\nabla f \cdot \vec{\tau}$. Den kan vara något helt annat än $a\cos\theta +b\sin(\theta)$ i punkten (a,b) om du inte lägger på några ytterligare villkor på f.

Om $f(x,y)=3x^3+2y$ så är $\nabla f(a,b)=(9a^2, 2)$ och din riktningsderivata blir $9a^2\cos(\theta)+2\sin(\theta)\neq a\cos(\theta)+b\sin(\theta)$.

Oj nej men nejnejnejnejnejnej! 

Fix punkt, alltså en punkt som är bestämd och inte variabel. Då blir blir det csinθ+dcosθ

Qetsiyah skrev:

Oj nej men nejnejnejnejnejnej! 

Fix punkt, alltså en punkt som är bestämd och inte variabel. Då blir blir det csinθ+dcosθ

Kan du ge ett konkret exempel eller formulera dig mer matematiskt?

Öhh asså jag använde a,b igen av misstag. Jag menade bara konstanta koefficienter framför sin och cos, har ingenting alls att göra med den fixa punkten x=(a, b)

Qetsiyah skrev:

Öhh asså jag använde a,b igen av misstag. Jag menade bara konstanta koefficienter framför sin och cos, har ingenting alls att göra med den fixa punkten x=(a, b)

Aaa, okej :) Jag blev lite förvirrad när du använde begreppet fixpunkt samt att (a,b) plötsligt dök upp som gradient i punkten (a,b).

Tänk också på att fixpunkt är grej: Wikipedia om fixpunkt

Bara så att vi har terminologin klar för oss:

Definition. Riktningsderivatan av en funktion $f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ i en punkt $\mathbf{p}\in\mathbb{R}^n$ längs vektorn $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$ ges av gränsvärdet

   $\,{(D_{\mathbf{v}}f)(\mathbf{p})}=\lim_{h\to 0} \frac{f(\mathbf{p}+h\mathbf{v})-f(\mathbf{p})}{h}\,.$

Om $\mathbf{v}$ är lika med the $i$:te enhetsvektorn kallar vi riktningsderivatan för den $i$:te partiella derivatan, och använder notationen

   $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}{(\mathbf{p})}:={(D_{\mathbf{e}_i}f)(\mathbf{p})}\,.$

Gradienten av $f$ i punkten $\mathbf{p}$ är vektorn

   $\,{(\nabla f)(\mathbf{p})}=(\frac{\partial f}{\partial x_1}{(\mathbf{p})},\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}{(\mathbf{p})})\,.$

Frågan är nu om de här ändligt många partiella derivatorna längs koordinataxlarna på något magiskt sätt bestämmer riktningsderivatorna i alla de oändligt många riktningar som finns mellan koordinataxlarna.

För alla tillräckligt "välartade" funktioner är det faktiskt så, vilket precis som Jroth är inne på känns lite som ett mirakel. Mer precist har vi följande resultat.

Sats. Om funktionen $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ är differentierbar i en punkt $\mathbf{p}$ så gäller det att för varje riktning $\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_n)\in\mathbb{R}^n$ att

   $\displaystyle\,{(D_{\mathbf{v}}f)(\mathbf{p})}=\sum_{i=1}^n v_i\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}{(\mathbf{p})}\,,\qquad {(\star)}$

dvs. $(D_{\mathbf{v}}f)(\mathbf{p})=\mathbf{v}\bullet (\nabla f)(\mathbf{p})$.

Notera att differentierbarhet är ett villkor för den här satsen. Ett exempel, som visar att det svagare villkoret "kontinuitet samt existens av de partiella derivatorna" som har nämnts i förbigående tidigare här i tråden inte är tillräckligt, är den här funktionen:

  $f{(x,y)}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2y}{x^2+y^2}&\text{om $(x,y)\neq (0,0)$}\\ 0&\text{om $(x,y)=(0,0)$.}\end{array}\right.$

Övning till Qetsiyah: Ge ett exempel på en punkt $\mathbf{p}$ och en riktning $\mathbf{v}$ som visar att formeln $(\star)$ inte gäller för den här funktionen.

oggih skrev:

Notera att differentierbarhet är ett villkor för den här satsen. Ett exempel, som visar att det svagare villkoret "kontinuitet samt existens av de partiella derivatorna"

Ja, det var förfärligt slarvigt av mig. Vad tror du om att jag ändrar till kontinuerliga partiella derivator ($C^1$)?

Mycket bättre! Om de partiella derivatorna existerar och är kontinuerliga så är funktionen differentierbar (vilket vid första anblicken nästan är ett mirakel i sig).