Flervariabelanalys: parametrisering

Detta är parametriseringen av en cirkel med radie 1 i xy-planet:

$\mathbf{r}\left(t\right)=\mathbf{e}_x \cos t + \mathbf{e}_y \sin t$

I detta plan $z=0$ har du $\mathbf{u}=\mathbf{e}_x$ och $\mathbf{v}=\mathbf{e}_y$.

Du har nu ett snett plan $x+y+z=0$. Kan du uttrycka ortogonala enhetsvektorer som spänner upp det planet?

Börja med att ta fram en normal n till planet.

Bestäm därefter en enhetsvektor u som är ortogonal mot n. n•u = 0, |u| = 1.

Sedan kan du räkna ut v enligt v  = $\frac{\mathit{n}}{\left|\mathit{n}\right|}\times \mathit{u}$.

Hastigheten är $\frac{d\mathit{r}\left(t\right)}{dt}$. Farten är beloppet av hastigheten.

PATENTERAMERA skrev:

Börja med att ta fram en normal n till planet.

Bestäm därefter en enhetsvektor u som är ortogonal mot n. n•u = 0, |u| = 1.

Sedan kan du räkna ut v enligt v  = $\frac{\mathit{n}}{\left|\mathit{n}\right|}\times \mathit{u}$.

Hastigheten är $\frac{d\mathit{r}\left(t\right)}{dt}$. Farten är beloppet av hastigheten.

Okej tack! Så normalen till planet x+y+z=0 är n = (1,1,1)? Och sen ska jag hitta en vektor u där (1,1,1)•(u₁,u_2,u₃)=0 och  $\sqrt{{u_1}^2+{u_2}^2+{u_3}^2}$=1? Är det ens möjligt?

Men jag blir förvirrad för jag läste precis i kurslitteraturen att ett plan (genom origo) kan beskrivas som z = ax + by = 0...

Precis. Vi får villkoren u₁ + u₂ + u₃ = 0 och u₁² + u₂² + u₃² = 1.

Vi kan göra det enkelt för oss genom att välja tex u₃ = 0.

u₁ = -u₂ = $\lambda$. ${\lambda }^2+{\lambda }^2=1$, som ger $\lambda =\pm 1/\sqrt{2}$. Vi kan tex välja det positiva värdet på lambda och får

u = ($1/\sqrt{2}$, -$1/\sqrt{2}$, 0).

z = ax + by = 0 verkar beskriva en linje och inte ett plan.

PATENTERAMERA skrev:

Precis. Vi får villkoren u₁ + u₂ + u₃ = 0 och u₁² + u₂² + u₃² = 1.

Vi kan göra det enkelt för oss genom att välja tex u₃ = 0.

u₁ = -u₂ = $\lambda$. ${\lambda }^2+{\lambda }^2=1$, som ger $\lambda =\pm 1/\sqrt{2}$. Vi kan tex välja det positiva värdet på lambda och får

u = ($1/\sqrt{2}$, -$1/\sqrt{2}$, 0).

Tack så mycket för otroligt bra, simpel och tydlig hjälp! 

En sista fråga om du orkar och vill- stämmer det att v (med dina värden för u) vidare blir v = (1/$\sqrt{6}$, 1/$\sqrt{6}$, -2/$\sqrt{6}$) ? 

Stämmer. Du kan enkelt dubbelkolla att u•v = 0 och att |v| = 1.

PATENTERAMERA skrev:

Stämmer. Du kan enkelt dubbelkolla att u•v = 0 och att |v| = 1.

Tack så mycket! :)

PATENTERAMERA skrev:

Precis. Vi får villkoren u₁ + u₂ + u₃ = 0 och u₁² + u₂² + u₃² = 1.

Vi kan göra det enkelt för oss genom att välja tex u₃ = 0.

u₁ = -u₂ = $\lambda$. ${\lambda }^2+{\lambda }^2=1$, som ger $\lambda =\pm 1/\sqrt{2}$. Vi kan tex välja det positiva värdet på lambda och får

u = ($1/\sqrt{2}$, -$1/\sqrt{2}$, 0).

Tack för jättebra förklaring!!