Flervariabelanalys - Optimering med flera bivillkor

Hej, jag har några funderingar över en viss uppgift i optimering:

"Bestäm största och minsta värdet av $f (x, y, z)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}x + y + z$  under bivillkoren

$\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2 = \frac{83}{7} \to g(x, y, z)\hspace{0.17em}= x^2+y^2+z^2\\ x +2y +3z\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}4 \to h(x, y, z)\hspace{0.17em}= x +2y +3z\end{array}\right.$

Jag utnyttjade att gradienterna av f g och h var linjärt beroende och fick fram (genom att beräkna determinanten av gradienterna i en matris) att maximala värdet var $\frac{27}{7}$och det minsta värdet $\frac{-3}{7}$.

Det jag nu undrar är om denna metod inkluderar randpunkterna på kurvan som är definitionsmängden? Alltså den kurva som uppfyller  $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2 = \frac{83}{7}\\ x +2y +3z\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}4 \end{array}\right. \\ \end{array}$

I de fall där det enbart fanns ett bivillkor stod det nämligen i min bok att man måste undersöka randpunkterna separat (precis som jag lärt mig göra vid optimering utan bivillkor) men i lösningsförslaget till den här uppgiften bortser man från detta. Är detta rätt? I sådana fall, varför?