Flervariabelanalys, optimering

Titta först på argumentet till ln, alltså uttrycket 1+(x-y)². Vad kan du säga om det?

Laguna skrev:

Titta först på argumentet till ln, alltså uttrycket 1+(x-y)². Vad kan du säga om det?

Den kan väl endast anta positiva värden. När (x,y) --> inf går uttrycket mot 1

Har det ett största eller ett minsta värde?

Laguna skrev:

Har det ett största eller ett minsta värde?

Nja det skulle jag inte säga. Den har inga lokala extrempunkter. Och när man går (x,y)--> (0,0) får vi 1 och (x,y)--> inf får vi 1.

Edit: När (x,y)--> inf borde det vara ett odefinierat gränsvärde efter som inf-inf

Hej!
Du verkar krångla till det en aning.

Du kan exempelvis betrakta funktionen $g\left(x\right)=f\left(x,0\right)=\ln\left(1+x^2\right)$. Har den några max eller min?

Eftersom $\ln\left(x\right)$ är monoton så kan du istället betrakta argumentet $1+\left(x-y\right)^2$. Vad är det minsta värdet det kan anta? Vad är då det minsta värdet $f$ kan anta?

Moffen skrev:

Hej!
Du verkar krångla till det en aning.

Du kan exempelvis betrakta funktionen $g\left(x\right)=f\left(x,0\right)=\ln\left(1+x^2\right)$. Har den några max eller min?

Eftersom $\ln\left(x\right)$ är monoton så kan du istället betrakta argumentet $1+\left(x-y\right)^2$. Vad är det minsta värdet det kan anta? Vad är då det minsta värdet $f$ kan anta?

Hej,

Ja alltså det som krånglar till det är (x-y)^2 komponenten. ln(1+x^2) bör ha ett minsta värde dvs ln(1)=0. Den har dock inget största värde eftersom den kan fortsätta växa i all evighet. Eftersom (x-y)^2 endast kan anta positiva värden bör det minsta värdet för den vara (x,y)=(0,0) och därmed får vi ln(1)=0, så det bör isådanafall vara det minsta värdet för funktionen. Men det blir ju lite krångligare när man ska beskriva för stora värden eftersom man får (inf-inf)

Det intressanta i $\mathbb{R}^2$ är ju att du kan välja riktning hur som helst. Exempelvis så gäller att $f\left(x,x\right)=\ln\left(1\right)$, vilket gäller för hela linjen $y=x$ i $\mathbb{R}^2$ och inte bara punkten $\left(0,0\right)$. Men mycket riktigt, eftersom $1+\left(x-y\right)^2\geq 1+0=1$ och $\ln\left(x\right)$ är monoton så har vi att minsta värdet (som faktiskt antas, vi har ju till exempel hela linjen $y=x$) $\ln\left(1\right)=0$. Så $f$ har minsta värde $0$.

På samma sätt så välj något enkelt för att hitta största värde (om det finns). Låt exempelvis $y=0$. Ja då är ju $f\left(x,0\right)=\ln\left(1+x^2\right)$ som vi vet inte har något största värde. Alltså har inte $f$ något största värde, du kan alltid hitta ett större.

Moffen skrev:

Det intressanta i $\mathbb{R}^2$ är ju att du kan välja riktning hur som helst. Exempelvis så gäller att $f\left(x,x\right)=\ln\left(1\right)$, vilket gäller för hela linjen $y=x$ i $\mathbb{R}^2$ och inte bara punkten $\left(0,0\right)$. Men mycket riktigt, eftersom $1+\left(x-y\right)^2\geq 1+0=1$ och $\ln\left(x\right)$ är monoton så har vi att minsta värdet (som faktiskt antas, vi har ju till exempel hela linjen $y=x$) $\ln\left(1\right)=0$. Så $f$ har minsta värde $0$.

På samma sätt så välj något enkelt för att hitta största värde (om det finns). Låt exempelvis $y=0$. Ja då är ju $f\left(x,0\right)=\ln\left(1+x^2\right)$ som vi vet inte har något största värde. Alltså har inte $f$ något största värde, du kan alltid hitta ett större.

Tack för förklaringen. Jag tror jag förstår nu.